Um fóton de frequência
sofre espalhamento Compton de um elétron em repouso e se espalha com um ângulo
. A frequência do fóton espalhado é
. Como
se relaciona a
? Sua resposta depende de
? Explique.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de espalhamento Compton. A questão fala sobre um fóton com frequência $ f $ que bate em um elétron parado e, após a colisão, o fóton se espalha formando um ângulo $ \phi $ com sua direção original, tendo uma nova frequência $ f’ $. Nosso objetivo é descobrir como $ f $ se relaciona com $ f’ $ e verificar se essa relação depende do ângulo $ \phi $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o espalhamento Compton. É um fenômeno que ocorre quando um fóton (uma partícula de luz) colide com um elétron. Nessa colisão, parte da energia e do momento do fóton é transferida para o elétron, fazendo com que o fóton saia com uma frequência menor, ou seja, $ f’ < f $.
Passo 3
A fórmula que descreve essa mudança de frequência é dada pela equação de Compton:
Aqui, $ \lambda $ é o comprimento de onda inicial do fóton, $ \lambda’ $ é o comprimento de onda após o espalhamento, $ h $ é a constante de Planck, $ m_e $ é a massa do elétron, e $ c $ é a velocidade da luz.
Passo 4
Para relacionar as frequências $ f $ e $ f’ $, lembramos que o comprimento de onda $ \lambda $ está relacionado à frequência pela relação $ \lambda = \frac{c}{f} $. Substituindo na equação de Compton:
Passo 5
Vamos isolar $ \frac{1}{f’} $:
Agora, podemos expressar $ f’ $ em função de $ f $:
Passo 6
Observando a equação, vemos que a frequência espalhada $ f’ $ depende diretamente da frequência inicial $ f $ e do ângulo $ \phi $. Quanto maior o ângulo $ \phi $, maior será a redução na frequência do fóton espalhado.
Resposta
A frequência inicial $ f $ e a frequência espalhada $ f’ $ estão relacionadas pela equação:
Isso mostra que $ f $ se relaciona com $ f’ $ de forma que $ f’ $ depende do ângulo $ \phi $. Quanto maior o ângulo $ \phi $, maior a diferença entre $ f $ e $ f’ $.