Um feixe luminoso viaja no vácuo e atravessa a interface de um material com uma inclinação normal de 30^{\circ}. Nesse novo material a velocidade da luz é reduzida em 20 \%, qual o ângulo com a normal da luz refletida e refratada nessa interface? Qual seria o ângulo de Brewster? O que esse ângulo significa? (Resp: \theta_{p}=51,34^{\circ} )

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o ângulo com a normal da luz refletida nessa interface.
  • Calcular o ângulo com a normal da luz refratada nessa interface.
  • Calcular o ângulo de Brewster e explicar o que esse ângulo significa.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • O feixe incide no meio novo formando uma inclinação com a normal de 30^\circ. Portanto o ângulo de incidência é \theta_i=30^\circ.
  • O feixe vinha do vácuo (velocidade da luz no primeiro meio é c).
  • No novo material a velocidade da luz é reduzida em 20\%. Ou seja, a velocidade do luz no material é v=0,8\,c.
Nenhuma outra informação foi fornecida; consideramos a configuração padrão plano-para-plano (superfície plana), e que os ângulos pedidos são medidos em relação à normal da superfície.

Passo 2

Transformar a redução de velocidade em índice de refração e explicar o que é índice de refração.
Definição: o índice de refração n de um meio é a razão entre a velocidade da luz no vácuo c e a velocidade da luz no meio v:
n=\frac{c}{v}.
Aqui o feixe estava no vácuo (meio 1), cujo índice é n_1=1. No meio 2 a velocidade é v=0,8\,c, logo:
n_2=\frac{c}{v}=\frac{c}{0,8\,c}=\frac{1}{0,8}=1,25.
Interpretação física rápida: quanto maior n, mais “lento” fica a luz no meio e maior a curvatura (refração) ao atravessar a interface.

Passo 3

Lei da reflexão (o que é e aplicação aqui).
A lei da reflexão diz que o ângulo de reflexão em relação à normal é igual ao ângulo de incidência:
\theta_r=\theta_i.
Como \theta_i=30^\circ, temos imediatamente
\theta_r=30^\circ.
Isso é independente dos índices dos meios (vale em qualquer interface plana entre meios).

Passo 4

Lei da refração (Lei de Snell): enunciação e explicação de cada termo.
A Lei de Snell relaciona índices e senos dos ângulos de incidência e refração:
n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t,
onde
  • n_1 é o índice do meio de onde a luz vem (aqui n_1=1),
  • n_2 é o índice do meio de transmissão (aqui n_2=1,25),
  • \theta_i é o ângulo de incidência com a normal (aqui \theta_i=30^\circ),
  • \theta_t é o ângulo de refração com a normal (o que queremos achar).

Passo 5

Aplicar a Lei de Snell numericamente para achar o ângulo refratado e explicar a conta passo a passo.
Usando
n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t,
substituímos n_1=1, n_2=1,25 e \theta_i=30^\circ:
1\cdot\sin 30^\circ = 1,25\cdot\sin\theta_t.
Sabemos que \sin 30^\circ=\tfrac{1}{2}=0,5. Então:
0,5 = 1,25\cdot\sin\theta_t.
Isolando \sin\theta_t:
\sin\theta_t = \frac{0,5}{1,25}=0,4.
Agora obtemos \theta_t tomando o arco-seno:
\theta_t=\arcsin(0,4)\approx 23,58^\circ.
Comentário prático: o valor \sin\theta_t=0,4 é exato a partir dos dados; o ângulo em grau é obtido por tabelas, calculadora ou conhecimento de seno inverso. Aqui arredondamos para duas casas decimais.

Passo 6

Calcular o ângulo de Brewster e explicar a sua origem (derivação curta e significado físico).
Definição/condição: o ângulo de Brewster \theta_B é o ângulo de incidência para o qual a luz polarizada no plano de incidência (polarização p, campo elétrico paralelo ao plano de incidência) não é refletida — ou seja, a componente refletida nessa polarização é zero. Uma consequência geométrica útil é que, no ângulo de Brewster, o raio refletido e o raio refratado são perpendiculares entre si.
A relação entre índices que dá o ângulo de Brewster é
\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}.
Derivação curta (intuição): usando Snell e exigindo que \theta_r+\theta_t=90^\circ (ou seja \theta_t=90^\circ-\theta_B) e aplicando Snell chega-se a \tan\theta_B=n_2/n_1. Não é necessário rederivar detalhadamente na prova se você lembrar da fórmula, mas aqui está a justificativa mínima.
Aplicando com n_1=1 e n_2=1,25:
\tan\theta_B = 1,25.
Tomando arco-tangente:
\theta_B = \arctan(1,25)\approx 51,34^\circ.

Passo 7

Interpretações finais e observações práticas (linguagem amiga).
  • Ângulo refletido: igual ao incidente, ou seja \theta_r=30^\circ. Fácil, lembra da regra espelho: ângulo que entra = ângulo que sai.
  • Ângulo refratado: menor que o incidente ( \approx 23,58^\circ) porque o índice do segundo meio é maior ( n_2=1,25 faz a luz “se curvar” em direção à normal).
  • Ângulo de Brewster: \approx 51,34^\circ. Se você incidir luz polarizada no plano de incidência exatamente nesse ângulo, a componente refletida com polarização p some — portanto a luz refletida fica totalmente polarizada na direção perpendicular ao plano de incidência (polarização s). É um truque usado para produzir luz polarizada por reflexão.
Um incentivo: já fizemos todas as contas essenciais. Se for na prova, escreva primeiro n_2 a partir de v, aplique Snell para a refração, e lembre-se da lei da reflexão — assim você ganha tempo e acerta.

Resposta

\theta_{\text{refletida}}=30^\circ
\theta_{\text{refratada}}\approx 23,58^\circ
\theta_{B}\approx 51,34^\circ

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