Um experimento em um laboratório na Terra mantém corpos suspensos no ar utilizando um laser que produz ondas eletromagnéticas não polarizadas com um fluxo de energia por unidades de tempo e de área de 12 T W / m^{2}\left(1 T=10^{12}\right). Devida a sensibilidade do aparelho, podem ser utilizados polarizadores entre o laser e o objeto em suspensão, e todo o experimento é realizado dentro de um envoltório onde se faz vácuo.
Para manter um cubo de massa de 1 g e comprimento lateral de 1 m m suspenso por uma das faces, é utilizado dois polarizadores cujo os eixos de transmissão estão defasados em um certo ângulo. Admitindo que: a) a seção transversal do laser é maior que a do objeto em questão; b) todo o aparato está verticalmente alinhado; c) que a incidência das ondas eletromagnéticas no objeto é normal; d) o objeto absorve toda a onda incidente sobre ele. Qual o ângulo de defasagem em questão? Dado: gravidade da Terra é igual a 10 m / s^{2}, velocidade da luz no vácuo é de 3.10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (Resp: \theta=45^{\circ} )

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado pede e quais são os dados que nos deram. O objetivo é: determinar o ângulo de defasagem entre os eixos de transmissão de dois polarizadores necessários para que a força de radiação do laser mantenha um cubo suspenso pela sua face.
Dados fornecidos (vou escrever em notação científica para ficar claro):
  • Fluxo de energia (intensidade) do laser: I_0 = 12\times10^{12}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • A luz emitida pelo laser é não polarizada.
  • São colocados dois polarizadores entre o laser e o objeto; os eixos de transmissão estão defasados de um ângulo \theta (este é o que queremos achar).
  • A seção transversal do laser é maior que a do objeto (logo toda a face do cubo recebe a intensidade transmitida).
  • Incidência normal e todo o experimento em vácuo.
  • O objeto absorve toda a onda incidente sobre ele (absorção total).
  • Massa do cubo: m = 1\\ \mathrm{g} = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento lateral do cubo: L = 1\\ \mathrm{mm} = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Assim a área da face que recebe o laser é A = L^{2} = 1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Aceleração da gravidade: g = 10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Velocidade da luz: c = 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
O que o enunciado pede: achar o ângulo \theta entre os eixos dos dois polarizadores tal que a força de radiação sobre o cubo equilibre o peso mg.

Passo 2

Entendendo como a intensidade transmitida pelos dois polarizadores depende de \theta.
Conceito 1 — luz não polarizada e polarizador: luz não polarizada pode ser vista como uma mistura igual de todas as direções de polarização. Quando luz não polarizada passa por um polarizador ideal, metade da intensidade é transmitida. Portanto, imediatamente após o primeiro polarizador a intensidade é
I_1 = \frac{I_0}{2}.
Aqui I_0 é a intensidade incidente no primeiro polarizador e I_1 é a intensidade após o primeiro.
Conceito 2 — segunda polarização e Lei de Malus: se luz polarizada com intensidade I_{\text{inc}} incide num polarizador cujo eixo forma um ângulo \theta com a direção de polarização da luz, a intensidade transmitida é dada pela Lei de Malus:
I_{\text{trans}} = I_{\text{inc}}\cos^{2}\theta.
Nesta fórmula, \theta é o ângulo entre o eixo de polarização da luz incidente e o eixo do polarizador, e \cos^{2}\theta é a fração da intensidade que passa.
Aplicando a Malus ao nosso caso (luz após o primeiro polarizador atinge o segundo com ângulo \theta entre eixos), a intensidade que chega ao objeto (após os dois polarizadores) é
I = I_1\cos^{2}\theta = \frac{I_0}{2}\cos^{2}\theta.
Aqui I é a intensidade que incide sobre a face do cubo.

Passo 3

Entendendo pressão de radiação quando a luz é totalmente absorvida.
Conceito 3 — pressão de radiação para absorção total: a intensidade I (energia por unidade de área por unidade de tempo) corresponde a um fluxo de energia que carrega momento. Para cada unidade de energia E absorvida, a quantidade de momento transferida é p=E/c (pois para um fóton p = E/c). Assim, por unidade de tempo e por unidade de área a pressão (força por área) exercida sobre uma superfície que absorve totalmente a radiação é
P_{\text{rad}} = \frac{I}{c}.
Aqui P_{\text{rad}} é a pressão de radiação (unidade \mathrm{N/m^2}), I é a intensidade incidente ( \mathrm{W/m^2}) e c é a velocidade da luz. Essa fórmula vale para incidência normal e absorção total (se houvesse reflexão, haveria fator diferente).
A força resultante sobre a face de área A é
F_{\text{rad}} = P_{\text{rad}} \cdot A = \frac{I\,A}{c}.

Passo 4

Condição de equilíbrio vertical: a força de radiação deve equilibrar o peso do cubo.
O peso do cubo é F_{g} = m g. Para ficar suspenso (em equilíbrio), precisamos de
F_{\text{rad}} = F_{g}.
Substituindo as fórmulas anteriores,
\frac{I\,A}{c} = m g.

Passo 5

Substituindo a expressão de I em função de \theta e isolando \cos^{2}\theta.
Lembrando que I = \dfrac{I_0}{2}\cos^{2}\theta, substituímos em \dfrac{I\,A}{c} = m g:
\frac{\left(\dfrac{I_0}{2}\cos^{2}\theta\right)A}{c} = m g.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{2c}{I_0 A} para isolar \cos^{2}\theta, obtemos
\cos^{2}\theta = \frac{2 m g c}{I_0 A}.
Aqui explico cada símbolo novamente: m massa do cubo, g gravidade, c velocidade da luz, I_0 intensidade original do laser, A área da face do cubo.

Passo 6

Substituição numérica passo a passo e cálculo de \cos^{2}\theta.
Vamos colocar os números (todos em unidades SI):
  • m = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.
  • g = 10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • c = 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • I_0 = 12\times10^{12}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • A = 1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcule o numerador:
2 m g c = 2 \times (1\times10^{-3}) \times 10 \times (3\times10^{8}).
Primeiro (1\times10^{-3})\times 10 = 1\times10^{-2}.
Então 2\times 1\times10^{-2}=2\times10^{-2}.
Agora 2\times10^{-2}\times 3\times10^{8} = 6\times10^{6}.
Portanto o numerador é 6\times10^{6}.
Calcule o denominador:
I_0 A = (12\times10^{12})\times(1\times10^{-6}) = 12\times10^{6}.
Agora a razão:
\cos^{2}\theta = \frac{6\times10^{6}}{12\times10^{6}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0{,}5.

Passo 7

Determinação de \theta a partir de \cos^{2}\theta = \tfrac{1}{2}.
Se \cos^{2}\theta = \tfrac{1}{2}, então \cos\theta = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}. Como \theta é o ângulo entre eixos de transmissão de polarizadores e normalmente tomado entre 0^\circ e 90^\circ, usamos o valor positivo:
\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ.
Interpretação rápida: com dois polarizadores, a intensidade transmitida é \dfrac{I_0}{2}\cos^{2}\theta. Para este cubo leve e área pequena, precisamos de uma fração \dfrac{1}{2} da intensidade do laser original para que a pressão I/c seja suficiente; isso ocorre quando \cos^{2}\theta = 1/2, ou \theta=45^\circ. Você fez a conta certíssima — nada de mágica, só Malus + pressão de radiação.

Passo 8

Dica final e ânimo (só um incentivo rápido): sempre que ver problema com polarizadores + pressão de luz, pense primeiro em como a intensidade é reduzida pelos polarizadores e depois use P_{\text{rad}}=I/c para transformar intensidade em força. Repete esse padrão e fica mais simples nas provas. Vai com tudo, você consegue!

Resposta

\theta=45^\circ

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