Um experimento em um laboratório na Terra mantém corpos suspensos no ar utilizando um laser que produz ondas eletromagnéticas não polarizadas com um fluxo de energia por unidades de tempo e de área de
. Devida a sensibilidade do aparelho, podem ser utilizados polarizadores entre o laser e o objeto em suspensão, e todo o experimento é realizado dentro de um envoltório onde se faz vácuo.
Para manter um cubo de massa de
e comprimento lateral de
suspenso por uma das faces, é utilizado dois polarizadores cujo os eixos de transmissão estão defasados em um certo ângulo. Admitindo que: a) a seção transversal do laser é maior que a do objeto em questão; b) todo o aparato está verticalmente alinhado; c) que a incidência das ondas eletromagnéticas no objeto é normal; d) o objeto absorve toda a onda incidente sobre ele. Qual o ângulo de defasagem em questão? Dado: gravidade da Terra é igual a
, velocidade da luz no vácuo é de
. (Resp:
)
Para manter um cubo de massa de
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado pede e quais são os dados que nos deram. O objetivo é: determinar o ângulo de defasagem entre os eixos de transmissão de dois polarizadores necessários para que a força de radiação do laser mantenha um cubo suspenso pela sua face.
Dados fornecidos (vou escrever em notação científica para ficar claro):
- Fluxo de energia (intensidade) do laser:
. - A luz emitida pelo laser é não polarizada.
- São colocados dois polarizadores entre o laser e o objeto; os eixos de transmissão estão defasados de um ângulo
(este é o que queremos achar). - A seção transversal do laser é maior que a do objeto (logo toda a face do cubo recebe a intensidade transmitida).
- Incidência normal e todo o experimento em vácuo.
- O objeto absorve toda a onda incidente sobre ele (absorção total).
- Massa do cubo:
. - Comprimento lateral do cubo:
. Assim a área da face que recebe o laser é . - Aceleração da gravidade:
. - Velocidade da luz:
.
O que o enunciado pede: achar o ângulo
entre os eixos dos dois polarizadores tal que a força de radiação sobre o cubo equilibre o peso
.
Passo 2
Entendendo como a intensidade transmitida pelos dois polarizadores depende de
.
Conceito 1 — luz não polarizada e polarizador: luz não polarizada pode ser vista como uma mistura igual de todas as direções de polarização. Quando luz não polarizada passa por um polarizador ideal, metade da intensidade é transmitida. Portanto, imediatamente após o primeiro polarizador a intensidade é
Aqui
é a intensidade incidente no primeiro polarizador e
é a intensidade após o primeiro.
Conceito 2 — segunda polarização e Lei de Malus: se luz polarizada com intensidade
incide num polarizador cujo eixo forma um ângulo
com a direção de polarização da luz, a intensidade transmitida é dada pela Lei de Malus:
Nesta fórmula,
é o ângulo entre o eixo de polarização da luz incidente e o eixo do polarizador, e
é a fração da intensidade que passa.
Aplicando a Malus ao nosso caso (luz após o primeiro polarizador atinge o segundo com ângulo
entre eixos), a intensidade que chega ao objeto (após os dois polarizadores) é
Aqui
é a intensidade que incide sobre a face do cubo.
Passo 3
Entendendo pressão de radiação quando a luz é totalmente absorvida.
Conceito 3 — pressão de radiação para absorção total: a intensidade
(energia por unidade de área por unidade de tempo) corresponde a um fluxo de energia que carrega momento. Para cada unidade de energia
absorvida, a quantidade de momento transferida é
(pois para um fóton
). Assim, por unidade de tempo e por unidade de área a pressão (força por área) exercida sobre uma superfície que absorve totalmente a radiação é
Aqui
é a pressão de radiação (unidade
),
é a intensidade incidente (
) e
é a velocidade da luz. Essa fórmula vale para incidência normal e absorção total (se houvesse reflexão, haveria fator diferente).
A força resultante sobre a face de área
é
Passo 4
Condição de equilíbrio vertical: a força de radiação deve equilibrar o peso do cubo.
O peso do cubo é
. Para ficar suspenso (em equilíbrio), precisamos de
Substituindo as fórmulas anteriores,
Passo 5
Substituindo a expressão de
em função de
e isolando
.
Lembrando que
, substituímos em
:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
, obtemos
Aqui explico cada símbolo novamente:
massa do cubo,
gravidade,
velocidade da luz,
intensidade original do laser,
área da face do cubo.
Passo 6
Substituição numérica passo a passo e cálculo de
.
Vamos colocar os números (todos em unidades SI):
-
. -
. -
. -
. -
.
Calcule o numerador:
Primeiro
.
Então .
Agora
Portanto o numerador é .
Então
Agora
Portanto o numerador é
Calcule o denominador:
Agora a razão:
Passo 7
Determinação de
a partir de
.
Se
, então
. Como
é o ângulo entre eixos de transmissão de polarizadores e normalmente tomado entre
e
, usamos o valor positivo:
Logo
Interpretação rápida: com dois polarizadores, a intensidade transmitida é
. Para este cubo leve e área pequena, precisamos de uma fração
da intensidade do laser original para que a pressão
seja suficiente; isso ocorre quando
, ou
. Você fez a conta certíssima — nada de mágica, só Malus + pressão de radiação.
Passo 8
Dica final e ânimo (só um incentivo rápido): sempre que ver problema com polarizadores + pressão de luz, pense primeiro em como a intensidade é reduzida pelos polarizadores e depois use
para transformar intensidade em força. Repete esse padrão e fica mais simples nas provas. Vai com tudo, você consegue!