Um feixe de luz colimada incide sobre uma superfície plana branca (refletora) formando um ângulo
com a direção de propagação da luz. Determine a pressão do feixe em função da intensidade do feixe e em função da densidade de energia total.
Passo 1
O enunciado dá um feixe de luz colimado que incide sobre uma superfície plana e reflexiva (superfície branca) formando um ângulo
com a direção de propagação da luz. Pede-se a pressão exercida pelo feixe:
- em função da intensidade do feixe (vou chamar essa intensidade de
); - em função da densidade de energia total do feixe (vou chamar essa densidade de energia de
).
Para evitar ambiguidade, aqui fica explícito como vou interpretar
:
será o ângulo entre a direção do feixe (vetor de propagação) e a normal à superfície — isto é,
é o ângulo de incidência usual. (Se no seu enunciado
for o ângulo com o plano da superfície, basta substituir
por
nas fórmulas que eu der.)
Informações relevantes que usamos:
- o feixe é colimado (direção bem definida, podemos tratar fluxo por unidade de área);
- a superfície é reflexora (assumo reflexão perfeita e especular: todo o fluxo de energia incidente é refletido);
-
= intensidade do feixe (energia por unidade de tempo por unidade de área perpendicular à direção do feixe); -
= densidade de energia (energia por unidade de volume) associada ao campo eletromagnético do feixe; -
= velocidade da luz no vácuo.
Passo 2
Conceito básico: relação entre intensidade e densidade de energia.
Intensidade (também magnitude do vetor de Poynting médio) é a energia que atravessa por unidade de tempo uma área perpendicular à direção de propagação. Para uma onda eletromagnética viajando no vácuo vale a relação
Intensidade
onde
é a densidade de energia (unidade: energia por volume) e
é a velocidade da luz. Explicando: se num volume unitário a energia é
, em tempo
essa energia atravessa uma distância
, então o fluxo de energia por seção é
.
Passo 3
Conceito básico: momento transportado pela luz.
Cada porção de energia transportada pela luz carrega momento linear de módulo
Cada porção de energia
Isto vem da relação relativística para fótons (energia
e momento
). Para um feixe contínuo trabalhamos com fluxo de energia e com fluxo de momento.
Passo 4
Como a geometria entra: se o feixe incide com ângulo
em relação à normal, a componente normal do momento de um fóton incidente vale
porque multiplicamos pelo cosseno para extrair a componente normal. Após reflexão especular perfeita essa componente normal inverte de sinal (a componente tangencial não muda de sinal em reflexão especular ideal), então a variação da componente normal do momento por fóton é
O módulo da mudança de momento (magnitude do impulso transferido à superfície) é
.
Passo 5
Agora precisamos da taxa (por unidade de tempo e por unidade de área) de fótons incidentes sobre a superfície. A energia incidente por unidade de tempo por unidade de área da superfície é a irradiância sobre a superfície. Se
é a intensidade medida por unidade de área perpendicular ao feixe, a energia incidente por unidade de tempo por unidade de área da superfície é
Explicação: a área efetiva interceptada pelo feixe é reduzida por um fator
quando a superfície está inclinada; portanto menos energia por área da superfície chega, por esse fator.
Se cada fóton traz energia
, o número de fótons incidentes por unidade de tempo por unidade de área é
Multiplicando a taxa de fótons pela variação de momento por fóton obtemos a força por unidade de área (pressão) na direção normal:
As
cancelam; simplificando:
Esta é a pressão de radiação exercida sobre uma superfície perfeitamente refletora, quando o feixe incide com ângulo
medido em relação à normal.
Passo 6
Expressão em função da densidade de energia
. Usando a relação do Passo 2,
. Substituindo na fórmula anterior:
Portanto a pressão pode ser escrita diretamente em termos da densidade de energia do campo eletromagnético.
Passo 7
Interpretações e casos limites (úteis para prova):
- Incidência normal (
): , assim
isto é, pressão máxima (o fator 2 vem da reflexão perfeita: o momento normal é invertido).
- Incidência rasante (
): e (quase nenhum componente normal para transferir). - Se a superfície fosse perfeitamente absorvente (em vez de refletora), a variação de momento por fóton seria apenas
e a pressão seria metade do caso refletor ideal, dando (ou em termos de ).