Um feixe de luz colimada incide sobre uma superfície plana branca (refletora) formando um ângulo \theta com a direção de propagação da luz. Determine a pressão do feixe em função da intensidade do feixe e em função da densidade de energia total.

Passo 1

O enunciado dá um feixe de luz colimado que incide sobre uma superfície plana e reflexiva (superfície branca) formando um ângulo \theta com a direção de propagação da luz. Pede-se a pressão exercida pelo feixe:
  • em função da intensidade do feixe (vou chamar essa intensidade de I);
  • em função da densidade de energia total do feixe (vou chamar essa densidade de energia de u).
Para evitar ambiguidade, aqui fica explícito como vou interpretar \theta: \theta será o ângulo entre a direção do feixe (vetor de propagação) e a normal à superfície — isto é, \theta é o ângulo de incidência usual. (Se no seu enunciado \theta for o ângulo com o plano da superfície, basta substituir \theta por 90^\circ-\theta nas fórmulas que eu der.)
Informações relevantes que usamos:
  • o feixe é colimado (direção bem definida, podemos tratar fluxo por unidade de área);
  • a superfície é reflexora (assumo reflexão perfeita e especular: todo o fluxo de energia incidente é refletido);
  • I = intensidade do feixe (energia por unidade de tempo por unidade de área perpendicular à direção do feixe);
  • u = densidade de energia (energia por unidade de volume) associada ao campo eletromagnético do feixe;
  • c = velocidade da luz no vácuo.

Passo 2

Conceito básico: relação entre intensidade e densidade de energia.
Intensidade I (também magnitude do vetor de Poynting médio) é a energia que atravessa por unidade de tempo uma área perpendicular à direção de propagação. Para uma onda eletromagnética viajando no vácuo vale a relação
I = u\,c,
onde u é a densidade de energia (unidade: energia por volume) e c é a velocidade da luz. Explicando: se num volume unitário a energia é u, em tempo dt essa energia atravessa uma distância c\,dt, então o fluxo de energia por seção é u\,c.

Passo 3

Conceito básico: momento transportado pela luz.
Cada porção de energia E transportada pela luz carrega momento linear de módulo
p=\frac{E}{c}.
Isto vem da relação relativística para fótons (energia E=\hbar\omega e momento |\mathbf{p}|=E/c). Para um feixe contínuo trabalhamos com fluxo de energia e com fluxo de momento.

Passo 4

Como a geometria entra: se o feixe incide com ângulo \theta em relação à normal, a componente normal do momento de um fóton incidente vale
p_n^{\text{(antes)}}=\frac{E}{c}\cos\theta,
porque multiplicamos pelo cosseno para extrair a componente normal. Após reflexão especular perfeita essa componente normal inverte de sinal (a componente tangencial não muda de sinal em reflexão especular ideal), então a variação da componente normal do momento por fóton é
\Delta p_n = p_n^{\text{(depois)}}-p_n^{\text{(antes)}} = \left(-\frac{E}{c}\cos\theta\right)-\frac{E}{c}\cos\theta = -\frac{2E}{c}\cos\theta.
O módulo da mudança de momento (magnitude do impulso transferido à superfície) é \dfrac{2E}{c}\cos\theta.

Passo 5

Agora precisamos da taxa (por unidade de tempo e por unidade de área) de fótons incidentes sobre a superfície. A energia incidente por unidade de tempo por unidade de área da superfície é a irradiância sobre a superfície. Se I é a intensidade medida por unidade de área perpendicular ao feixe, a energia incidente por unidade de tempo por unidade de área da superfície é
\text{energia incidente por (tempo·área)} = I\cos\theta.á
Explicação: a área efetiva interceptada pelo feixe é reduzida por um fator \cos\theta quando a superfície está inclinada; portanto menos energia por área da superfície chega, por esse fator.
Se cada fóton traz energia E, o número de fótons incidentes por unidade de tempo por unidade de área é
\frac{I\cos\theta}{E}.
Multiplicando a taxa de fótons pela variação de momento por fóton obtemos a força por unidade de área (pressão) na direção normal:
P \;=\; \frac{I\cos\theta}{E}\cdot\frac{2E}{c}\cos\theta
As E cancelam; simplificando:
P = \frac{2I}{c}\cos^2\theta.
Esta é a pressão de radiação exercida sobre uma superfície perfeitamente refletora, quando o feixe incide com ângulo \theta medido em relação à normal.

Passo 6

Expressão em função da densidade de energia u. Usando a relação do Passo 2, I = u c. Substituindo na fórmula anterior:
P = \frac{2(u c)}{c}\cos^2\theta = 2u\cos^2\theta.
Portanto a pressão pode ser escrita diretamente em termos da densidade de energia do campo eletromagnético.

Passo 7

Interpretações e casos limites (úteis para prova):
  • Incidência normal ( \theta=0): \cos\theta=1, assim
P=\frac{2I}{c}\quad\text{ou}\quad P=2u,
isto é, pressão máxima (o fator 2 vem da reflexão perfeita: o momento normal é invertido).
  • Incidência rasante ( \theta\to90^\circ): \cos\theta\to0 e P\to0 (quase nenhum componente normal para transferir).
  • Se a superfície fosse perfeitamente absorvente (em vez de refletora), a variação de momento por fóton seria apenas \dfrac{E}{c}\cos\theta e a pressão seria metade do caso refletor ideal, dando P_{\text{absorv}}=\dfrac{I}{c}\cos^2\theta (ou P_{\text{absorv}}=u\cos^2\theta em termos de u).

Resposta

P=\frac{2I}{c}\cos^{2}\theta
P=2u\cos^{2}\theta

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