Escreva a expressão da pressão exercida por um feixe de ondas eletromagnéticas planas em função do módulo do vetor de Poynting S e da densidade de energia u, quando este feixe incide ortogonalmente:
sobre uma superfície plana que reflete totalmente as ondas;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede a expressão da pressão exercida por um feixe de ondas eletromagnéticas planas que incide ortogonalmente sobre uma superfície plana que reflete totalmente as ondas.
  • Devemos escrever essa pressão em função do módulo do vetor de Poynting \,S\, e da densidade de energia \,u\,.
  • Variáveis que usaremos:
    • \,p\, = pressão de radiação (força por unidade de área).
    • \,S\, = módulo do vetor de Poynting (fluxo de energia por unidade de área, em \mathrm{W/m^2}).
    • \,u\, = densidade de energia eletromagnética (energia por unidade de volume, em \mathrm{J/m^3}).
    • \,c\, = velocidade da luz no vácuo (em \mathrm{m/s}).
  • Objetivo: obter p escrito usando S e também usando u.

Passo 2

Ideia física e definição útil:
  • Pressão é taxa de transferência de quantidade de movimento por unidade de área: pressão = (variação de momento por tempo) / área.
  • Um feixe eletromagnético transporta energia e, por consequência, momento. O vetor de Poynting \, \mathbf{S}\, indica o fluxo de energia (energia por unidade de tempo por unidade de área) na direção de propagação.
  • Para ondas eletromagnéticas planas no vácuo existe a relação simples entre fluxo de energia e densidade de energia:
\mathbf{S}=c\,u\,\hat{\mathbf{n}},
onde \hat{\mathbf{n}} é o versor na direção de propagação. Em módulo:
S = c\,u.
Explicação curta: a energia que ocupa um volume \Delta V é u\,\Delta V; esse volume cruza uma área A em tempo \Delta t deslocando-se a velocidade c, então \Delta V = A c \Delta t, daí a energia que atravessa A por \Delta t é u A c \Delta t, logo fluxo de energia S = \dfrac{\text{energia}}{A\Delta t}=cu.

Passo 3

Relação entre densidade de momento e vetor de Poynting:
  • A densidade de momento do campo eletromagnético (quantidade de movimento por volume) é dada por
\mathbf{g}=\frac{\mathbf{S}}{c^{2}}.
  • Intuição: dividir o fluxo de energia por c^{2} dá a quantidade de momento armazenada por unidade de volume (relacionamento vindo da correspondência energia–momento em ondas/relatividade).
  • Em módulo: g=\dfrac{S}{c^{2}}.

Passo 4

Calcular o fluxo de momento incidente e a pressão em caso de reflexão total:
  • O fluxo de momento (momento que atravessa por unidade de área por unidade de tempo) é a densidade de momento multiplicada pela velocidade de transporte c:
\text{fluxo de momento (incidente)} = g\,c = \frac{S}{c^{2}}\,c = \frac{S}{c}.
  • Esse fluxo de momento que chega por unidade de área por unidade de tempo equivale à força por unidade de área se toda essa quantidade de momento for absorvida.
  • Para reflexão perfeitamente elástica normal (incidência ortogonal), cada “pacote” de momento reversa de sinal ao refletir, portanto a variação de momento é duas vezes a componente incidente. Logo a pressão é o dobro do fluxo de momento incidente:
p = 2\cdot\frac{S}{c}.

Passo 5

Expressão usando a densidade de energia u:
  • Usando \,S = c\,u\, (Passo 2) na expressão anterior,
p = 2\cdot\frac{S}{c} = 2\cdot\frac{c\,u}{c} = 2\,u.
  • Assim, para reflexão total e incidência normal, a pressão é o dobro da densidade de energia do campo.

Passo 6

Breve verificação alternativa por fótons (intuição):
  • Cada fóton tem energia \,E=h\nu e momento \,p_{\text{fóton}}=E/có.
  • Fluxo de energia por área por tempo é \,S, então número de fótons por área por tempo é S/E. Fluxo de momento incidente é (S/E)\cdot(E/c)=S/c. Reflexão total inverte o momento então variação é 2S/c, novamente p=2S/c. Consistente.

Resposta

p = \frac{2S}{c}
p = 2u

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