Escreva a expressão da pressão exercida por um feixe de ondas eletromagnéticas planas em função do módulo do vetor de Poynting
e da densidade de energia
, quando este feixe incide ortogonalmente:
sobre uma superfície plana que reflete totalmente as ondas;
sobre uma superfície plana que reflete totalmente as ondas;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede a expressão da pressão exercida por um feixe de ondas eletromagnéticas planas que incide ortogonalmente sobre uma superfície plana que reflete totalmente as ondas.
- Devemos escrever essa pressão em função do módulo do vetor de Poynting
e da densidade de energia . - Variáveis que usaremos:
-
= pressão de radiação (força por unidade de área). -
= módulo do vetor de Poynting (fluxo de energia por unidade de área, em ). -
= densidade de energia eletromagnética (energia por unidade de volume, em ). -
= velocidade da luz no vácuo (em ).
-
- Objetivo: obter
escrito usando e também usando .
Passo 2
Ideia física e definição útil:
- Pressão é taxa de transferência de quantidade de movimento por unidade de área: pressão = (variação de momento por tempo) / área.
- Um feixe eletromagnético transporta energia e, por consequência, momento. O vetor de Poynting
indica o fluxo de energia (energia por unidade de tempo por unidade de área) na direção de propagação. - Para ondas eletromagnéticas planas no vácuo existe a relação simples entre fluxo de energia e densidade de energia:
onde
é o versor na direção de propagação. Em módulo:
Explicação curta: a energia que ocupa um volume
é
; esse volume cruza uma área
em tempo
deslocando-se a velocidade
, então
, daí a energia que atravessa
por
é
, logo fluxo de energia
.
Passo 3
Relação entre densidade de momento e vetor de Poynting:
- A densidade de momento do campo eletromagnético (quantidade de movimento por volume) é dada por
- Intuição: dividir o fluxo de energia por
dá a quantidade de momento armazenada por unidade de volume (relacionamento vindo da correspondência energia–momento em ondas/relatividade). - Em módulo:
.
Passo 4
Calcular o fluxo de momento incidente e a pressão em caso de reflexão total:
- O fluxo de momento (momento que atravessa por unidade de área por unidade de tempo) é a densidade de momento multiplicada pela velocidade de transporte
:
- Esse fluxo de momento que chega por unidade de área por unidade de tempo equivale à força por unidade de área se toda essa quantidade de momento for absorvida.
- Para reflexão perfeitamente elástica normal (incidência ortogonal), cada “pacote” de momento reversa de sinal ao refletir, portanto a variação de momento é duas vezes a componente incidente. Logo a pressão é o dobro do fluxo de momento incidente:
Passo 5
Expressão usando a densidade de energia
:
- Usando
(Passo 2) na expressão anterior,
- Assim, para reflexão total e incidência normal, a pressão é o dobro da densidade de energia do campo.
Passo 6
Breve verificação alternativa por fótons (intuição):
- Cada fóton tem energia
e momento . - Fluxo de energia por área por tempo é
, então número de fótons por área por tempo é . Fluxo de momento incidente é . Reflexão total inverte o momento então variação é , novamente . Consistente.