Obtenha uma relação entre o módulo do vetor densidade de momento linear q (sendo q=d p / d V ) e o módulo do vetor de Poynting S.

Passo 1

O que o enunciado pede: obter uma relação entre o módulo do vetor densidade de momento linear q (sendo q = \dfrac{d p}{d V}) e o módulo do vetor de Poynting S.
Informações dadas / coisas que vamos usar (explicitadas):
  • q é o módulo da densidade de momento linear do campo eletromagnético (ou seja, q = |\mathbf{g}| onde \mathbf{g} é a densidade de momento).
  • S é o módulo do vetor de Poynting \mathbf{S}.
  • Vamos trabalhar em vácuo e usar as definições usuais de campo elétrico \mathbf{E}, campo magnético \mathbf{B}, constante de permissividade do vácuo \varepsilon_0, constante de permeabilidade do vácuo \mu_0 e velocidade da luz c com \;c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}.

Passo 2

Plano de resolução e justificativa do método:
  • A maneira mais direta (e didática) é começar das definições clássicas: vetor de Poynting e densidade de energia do campo, aplicar essas expressões a uma onda eletromagnética plana em vácuo (caso típico cobrado em prova) e relacionar energia e momento para radiação.
  • Esse método é o mais simples e suficiente para obter a relação pedida; usar o tensor energia-impulso de Maxwell daria a mesma conclusão de forma mais formal, mas é mais trabalhoso para uma prova rápida.

Passo 3

Definições fundamentais (cada símbolo explicado):
  • Vetor de Poynting:
\mathbf{S} = \dfrac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico, \mathbf{B} é o campo magnético e \mu_0 é a permeabilidade do vácuo. O módulo S é S=|\mathbf{S}|.
  • Densidade de energia eletromagnética em vácuo:
u = \dfrac{1}{2}\Bigl(\varepsilon_0 E^2 + \dfrac{1}{\mu_0}B^2\Bigr),
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e E=|\mathbf{E}|, B=|\mathbf{B}|.
  • Densidade de momento linear (vetorial) do campo eletromagnético em vácuo é normalmente denotada por \mathbf{g}; o enunciado chama o módulo disso de q, ou seja q=|\mathbf{g}|.

Passo 4

Propriedades de uma onda eletromagnética plana em vácuo (relações entre E e B):
  • Nos campos de uma onda plana em vácuo, \mathbf{E} e \mathbf{B} são perpendiculares e têm relação de módulo
B=\dfrac{E}{c},
onde c=\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} é a velocidade da luz no vácuo.
  • Substituindo essa relação em u, obtemos (mostrar passo a passo):
u=\dfrac{1}{2}\Bigl(\varepsilon_0 E^2 + \dfrac{1}{\mu_0}\dfrac{E^2}{c^2}\Bigr).
Usando \varepsilon_0 = \dfrac{1}{\mu_0 c^2} simplifica-se para
u=\dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{E^2}{\mu_0 c^2} + \dfrac{E^2}{\mu_0 c^2}\Bigr)=\dfrac{E^2}{\mu_0 c^2}.
Portanto, para onda plana em vácuo pode-se também escrever
u=\varepsilon_0 E^2 \quad\text{(equivalente às formas acima).}à

Passo 5

Expressão do módulo do vetor de Poynting para a onda plana (passo a passo):
  • O módulo do vetor de Poynting vale
S=\dfrac{1}{\mu_0} EB.
  • Substituindo B=E/c
S=\dfrac{1}{\mu_0}\dfrac{E^2}{c}=\dfrac{E^2}{\mu_0 c}.
  • Comparando com a expressão obtida para u, onde u=\dfrac{E^2}{\mu_0 c^2}, temos imediatamente
S = u\,c.
Isso tem interpretação física simples: \mathbf{S} é o fluxo de energia por unidade de área por unidade de tempo; para uma onda que transporta energia com velocidade c, o fluxo é densidade de energia vezes c.

Passo 6

Relação entre densidade de energia e densidade de momento para radiação e derivação da relação pedida:
  • Para radiação (fótons ou onda eletromagnética), cada quantidade de energia E_{\text{energia}} transportada também carrega momento p_{\text{momento}} = \dfrac{E_{\text{energia}}}{c}. Assim a densidade de momento (módulo) é
q = \dfrac{u}{c}.
  • Usando S = u\,c (do passo anterior), isolamos u como u = \dfrac{S}{c} e substituímos na expressão de q:
q = \dfrac{u}{c} = \dfrac{1}{c}\cdot\dfrac{S}{c} = \dfrac{S}{c^2}.
  • Em forma vetorial a relação é
\mathbf{g}=\dfrac{\mathbf{S}}{c^2},
portanto os vetores têm a mesma direção e sentido, e os módulos satisfazem a relação acima.

Passo 7

Comentários finais (interpretação e hipóteses):
  • A relação
q=\dfrac{S}{c^2}
vale em vácuo para campos eletromagnéticos (e, em particular, para ondas planas). É a forma usual da densidade de momento de Abraham para o campo eletromagnético em vácuo.
  • Em meios materiais (com índice de refração diferentes de 1) a relação pode precisar de ajustes (aparecem fatores do índice ou diferenças entre formulações de Abraham e Minkowski), mas para provas básicas e para vácuo a relação acima é a desejada.
  • Física-intuitiva: fluxo de energia (por área por tempo) dividido por c^2 dá densidade de momento.

Resposta

q=\dfrac{S}{c^{2}}

Exercícios relacionados