Obtenha uma relação entre o módulo do vetor densidade de momento linear
(sendo
) e o módulo do vetor de Poynting
.
Passo 1
O que o enunciado pede: obter uma relação entre o módulo do vetor densidade de momento linear
(sendo
) e o módulo do vetor de Poynting
.
Informações dadas / coisas que vamos usar (explicitadas):
-
é o módulo da densidade de momento linear do campo eletromagnético (ou seja, onde é a densidade de momento). -
é o módulo do vetor de Poynting . - Vamos trabalhar em vácuo e usar as definições usuais de campo elétrico
, campo magnético , constante de permissividade do vácuo , constante de permeabilidade do vácuo e velocidade da luz com .
Passo 2
Plano de resolução e justificativa do método:
- A maneira mais direta (e didática) é começar das definições clássicas: vetor de Poynting e densidade de energia do campo, aplicar essas expressões a uma onda eletromagnética plana em vácuo (caso típico cobrado em prova) e relacionar energia e momento para radiação.
- Esse método é o mais simples e suficiente para obter a relação pedida; usar o tensor energia-impulso de Maxwell daria a mesma conclusão de forma mais formal, mas é mais trabalhoso para uma prova rápida.
Passo 3
Definições fundamentais (cada símbolo explicado):
- Vetor de Poynting:
onde
é o campo elétrico,
é o campo magnético e
é a permeabilidade do vácuo. O módulo
é
.
- Densidade de energia eletromagnética em vácuo:
onde
é a permissividade do vácuo e
,
.
- Densidade de momento linear (vetorial) do campo eletromagnético em vácuo é normalmente denotada por
; o enunciado chama o módulo disso de , ou seja .
Passo 4
Propriedades de uma onda eletromagnética plana em vácuo (relações entre
e
):
- Nos campos de uma onda plana em vácuo,
e são perpendiculares e têm relação de módulo
onde
é a velocidade da luz no vácuo.
- Substituindo essa relação em
, obtemos (mostrar passo a passo):
Usando
simplifica-se para
Portanto, para onda plana em vácuo pode-se também escrever
Passo 5
Expressão do módulo do vetor de Poynting para a onda plana (passo a passo):
- O módulo do vetor de Poynting vale
- Substituindo
dá
- Comparando com a expressão obtida para
, onde , temos imediatamente
Isso tem interpretação física simples:
é o fluxo de energia por unidade de área por unidade de tempo; para uma onda que transporta energia com velocidade
, o fluxo é densidade de energia vezes
.
Passo 6
Relação entre densidade de energia e densidade de momento para radiação e derivação da relação pedida:
- Para radiação (fótons ou onda eletromagnética), cada quantidade de energia
transportada também carrega momento . Assim a densidade de momento (módulo) é
- Usando
(do passo anterior), isolamos como e substituímos na expressão de :
- Em forma vetorial a relação é
portanto os vetores têm a mesma direção e sentido, e os módulos satisfazem a relação acima.
Passo 7
Comentários finais (interpretação e hipóteses):
- A relação
vale em vácuo para campos eletromagnéticos (e, em particular, para ondas planas). É a forma usual da densidade de momento de Abraham para o campo eletromagnético em vácuo.
- Em meios materiais (com índice de refração diferentes de
) a relação pode precisar de ajustes (aparecem fatores do índice ou diferenças entre formulações de Abraham e Minkowski), mas para provas básicas e para vácuo a relação acima é a desejada. - Física-intuitiva: fluxo de energia (por área por tempo) dividido por
dá densidade de momento.