Um feixe de luz de
atinge um olho humano. Em média, a pupila de uma pessoa tem um diâmetro de 2 mm .
(a) Calcule o ângulo limite de resolução, supondo que a resolução é limitada somente pela difração.
(b) Determine a separação mínima entre 2 fontes pontuais que o olho consegue distinguir, se as fontes estão a uma distância
do observador
(a) Calcule o ângulo limite de resolução, supondo que a resolução é limitada somente pela difração.
(b) Determine a separação mínima entre 2 fontes pontuais que o olho consegue distinguir, se as fontes estão a uma distância
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular o ângulo limite de resolução supondo que a resolução é limitada só pela difração.
- (b) Determinar a separação mínima entre duas fontes pontuais que o olho consegue distinguir, sabendo que as fontes estão a uma distância
do observador.
Informações fornecidas:
- Comprimento de onda:
. - Diâmetro da pupila (abertura):
. - Distância das fontes ao observador:
.
Passo 2
Explicar a fórmula que vamos usar (sem ainda calcular): quando a resolução é limitada pela difração numa abertura circular (como a pupila), o critério de Rayleigh dá o menor ângulo entre dois pontos resolvíveis:
O que isso significa, em palavras simples:
-
é o menor ângulo (em radianos) sob o qual dois pontos ainda podem ser distinguidos. -
é o comprimento de onda da luz. -
é o diâmetro da abertura (a pupila).
O fatorsurge da forma do padrão de difração (disco de Airy) para uma abertura circular: é a posição do primeiro mínimo do padrão dividido por .
Passo 3
Converter todas as quantidades para unidades do Sistema Internacional antes de calcular e escrever os valores numéricos em forma conveniente:
Passo 4
Aplicar a fórmula de Rayleigh para obter o ângulo limite
. Substituindo:
Calculemos a fração:
Multiplicando por
:
Portanto o ângulo limite de resolução é
Passo 5
Interpretar esse número em unidades mais usuais (graus, minutos de arco, segundos de arco) para intuição. Conversões:
-
.
Logo em graus:
Em minutos de arco (
):
Em segundos de arco (
):
Comentário rápido e motivador: esse valor está bem próximo do valor típico citado para o olho humano (≈1 minuto de arco), então faz sentido físico.
Passo 6
Passar para a parte (b): como encontrar a separação mínima
entre duas fontes colocadas a distância
do observador. Para ângulos pequenos usamos a aproximação de pequenas-ângulos:
e a separação linear entre as fontes é aproximadamente
Aqui
deve estar em radianos (já temos
) e
em metros.
Passo 7
Calcular
:
Escrever em unidades mais intuitivas:
Então a separação mínima que o olho (com pupila de 2 mm) distinguiria a
é cerca de
.
Passo 8
Resumo final e verificação rápida:
- Ângulo obtido é pequeno, portanto a aproximação
foi apropriada. - Valores numéricos fazem sentido físico quando comparados com o conhecimento comum (olho capaz de ≈1’ de resolução).
- Um incentivo: você já viu a fórmula, fez as conversões e aplicou a aproximação de pequenas-ângulos — essas são as etapas que normalmente pedem na prova.
Resposta
(a)
(≈
).
(b) .
(b)