Um feixe de luz de \lambda=500 \mathrm{~nm} atinge um olho humano. Em média, a pupila de uma pessoa tem um diâmetro de 2 mm .
(a) Calcule o ângulo limite de resolução, supondo que a resolução é limitada somente pela difração.
(b) Determine a separação mínima entre 2 fontes pontuais que o olho consegue distinguir, se as fontes estão a uma distância L=25 \mathrm{~cm} do observador

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular o ângulo limite de resolução supondo que a resolução é limitada só pela difração.
  • (b) Determinar a separação mínima entre duas fontes pontuais que o olho consegue distinguir, sabendo que as fontes estão a uma distância L=25\\ \mathrm{cm} do observador.
Informações fornecidas:
  • Comprimento de onda: \lambda=500\\ \mathrm{nm}.
  • Diâmetro da pupila (abertura): D=2\\ \mathrm{mm}.
  • Distância das fontes ao observador: L=25\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Explicar a fórmula que vamos usar (sem ainda calcular): quando a resolução é limitada pela difração numa abertura circular (como a pupila), o critério de Rayleigh dá o menor ângulo entre dois pontos resolvíveis:
\theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}.
O que isso significa, em palavras simples:
  • \theta é o menor ângulo (em radianos) sob o qual dois pontos ainda podem ser distinguidos.
  • \lambda é o comprimento de onda da luz.
  • D é o diâmetro da abertura (a pupila).
    O fator 1{,}22 surge da forma do padrão de difração (disco de Airy) para uma abertura circular: 1{,}22 é a posição do primeiro mínimo do padrão dividido por (\lambda/D).

Passo 3

Converter todas as quantidades para unidades do Sistema Internacional antes de calcular e escrever os valores numéricos em forma conveniente:
  • \lambda = 500\\ \mathrm{nm} = 500\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • D = 2\\ \mathrm{mm} = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • L = 25\\ \mathrm{cm} = 0{,}25\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Aplicar a fórmula de Rayleigh para obter o ângulo limite \theta. Substituindo:
\theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D} = 1{,}22\;\frac{5{,}0\times10^{-7}}{2{,}0\times10^{-3}}.
Calculemos a fração:
\frac{5{,}0\times10^{-7}}{2{,}0\times10^{-3}} = 2{,}5\times10^{-4}.
Multiplicando por 1{,}22:
\theta = 1{,}22\times 2{,}5\times10^{-4} = 3{,}05\times10^{-4}\\ \mathrm{rad}.
Portanto o ângulo limite de resolução é \theta = 3{,}05\times10^{-4}\\ \mathrm{rad}.

Passo 5

Interpretar esse número em unidades mais usuais (graus, minutos de arco, segundos de arco) para intuição. Conversões:
  • 1\\ \mathrm{rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi}.
    Logo em graus:
\theta \approx 3{,}05\times10^{-4}\times \frac{180^\circ}{\pi}\approx 0{,}0175^\circ.
Em minutos de arco ( 1^\circ = 60'):
\theta \approx 0{,}0175^\circ\times 60 \approx 1{,}05'.
Em segundos de arco ( 1' = 60''):
\theta \approx 1{,}05'\times 60 \approx 63''.
Comentário rápido e motivador: esse valor está bem próximo do valor típico citado para o olho humano (≈1 minuto de arco), então faz sentido físico.

Passo 6

Passar para a parte (b): como encontrar a separação mínima d entre duas fontes colocadas a distância L do observador. Para ângulos pequenos usamos a aproximação de pequenas-ângulos:
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta,
e a separação linear entre as fontes é aproximadamente
d \approx L\,\theta.
Aqui \theta deve estar em radianos (já temos \theta = 3{,}05\times10^{-4}\\ \mathrm{rad}) e L em metros.

Passo 7

Calcular d:
d \approx L\,\theta = 0{,}25\\ \mathrm{m}\times 3{,}05\times10^{-4} = 7{,}625\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Escrever em unidades mais intuitivas:
d \approx 7{,}625\times10^{-5}\\ \mathrm{m} = 7{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m} \approx 76\\ \mu\mathrm{m}.
Então a separação mínima que o olho (com pupila de 2 mm) distinguiria a 25\\ \mathrm{cm} é cerca de 76\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 8

Resumo final e verificação rápida:
  • Ângulo obtido é pequeno, portanto a aproximação d\approx L\theta foi apropriada.
  • Valores numéricos fazem sentido físico quando comparados com o conhecimento comum (olho capaz de ≈1’ de resolução).
  • Um incentivo: você já viu a fórmula, fez as conversões e aplicou a aproximação de pequenas-ângulos — essas são as etapas que normalmente pedem na prova.

Resposta

(a) \theta = 3{,}05\times10^{-4}\\ \mathrm{rad}\approx 0{,}0175^\circ \approx 1{,}05' (≈ 63'').
(b) d_{\min}\approx 7{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\approx 76\\ \mu\mathrm{m}.

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