Em um experimento de dupla fenda, a intensidade a uma certa posição do anteparo é de 64 \% do valor máximo.
(a) Qual é a diferença de fase mínima (em rad) entre as fontes para produzir esse resultado?
(b) Escreva a diferença de fase em função da diferença de caminho para uma onda incidente de \lambda=486,1 \mathrm{~nm}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.\n
  • Informação: a intensidade observada num ponto do anteparo é 64\% do valor máximo, ou seja \dfrac{I}{I_{\max}}=0,64.\n
  • Informação: no item (b) a onda tem comprimento de onda \lambda=486,1\\ \mathrm{nm}.\n
  • Pedidos:\n
    (a) Determinar a diferença de fase mínima (em rad) entre as duas fontes que produz esse valor relativo de intensidade.\n
    (b) Escrever a diferença de fase \delta em função da diferença de caminho \Delta para a onda com \lambda=486,1\\ \mathrm{nm}.\n

Passo 2

Modelo físico e fórmula básica (explicando passo a passo).\n
  • Suponha duas ondas coerentes de mesma amplitude E_0 que chegam ao ponto com diferença de fase \delta. Escrevemos as duas contribuições complexas:\n
E_1 = E_0,\qquad E_2 = E_0 e^{i\delta}.\n
  • Soma das amplitudes (fásors):\n
E_{\text{res}} = E_1+E_2 = E_0(1+e^{i\delta}).\n
  • Usando a identidade 1+e^{i\delta}=e^{i\delta/2}(e^{-i\delta/2}+e^{i\delta/2})=2e^{i\delta/2}\cos(\delta/2), obtemos\n
E_{\text{res}} = 2E_0 e^{i\delta/2}\cos\!\left(\frac{\delta}{2}\right).\n
  • A intensidade é proporcional ao quadrado do módulo da amplitude (porque I\propto |E|^2). Assim,\n
I \propto |E_{\text{res}}|^2 = 4E_0^2\cos^2\!\left(\frac{\delta}{2}\right).\n
  • O máximo possível ocorre quando \delta=0, daí I_{\max}\propto 4E_0^2. Dividindo, obtemos a relação importante, usada em provas:\n
\boxed{\,\dfrac{I}{I_{\max}}=\cos^2\!\left(\frac{\delta}{2}\right)\,}\n
Expliquei cada passo: quais são as ondas, como somar fásors, por que a intensidade é módulo ao quadrado e como isolar a razão I/I_{\max}.

Passo 3

Aplicando a relação ao valor dado e resolvendo para \delta.\n
  • Temos \dfrac{I}{I_{\max}}=0,64, então\n
\cos^2\!\left(\frac{\delta}{2}\right)=0,64.\n
  • Tirando raiz quadrada:\n
\cos\!\left(\frac{\delta}{2}\right)=\pm 0,8.\n
  • Para achar a diferença de fase mínima positiva, tomamos o arco cosseno principal com valor positivo:\n
\frac{\delta}{2}=\operatorname{arccos}(0,8).\n
  • Portanto a solução exata (em forma fechada) é\n
\boxed{\,\delta=2\operatorname{arccos}(0,8)\,}.\n
  • Agora a aproximação numérica: \operatorname{arccos}(0,8)\approx 0,6435\\ \mathrm{rad} (porque 0,6435\\ \mathrm{rad}\approx 36,87^\circ e \cos36,87^\circ\approx0,8). Logo\n
\delta \approx 2\times 0,6435=1,2870\\ \mathrm{rad}.\n
  • Arredondando para duas casas decimais, \delta\approx 1,29\\ \mathrm{rad}. Fica claro que essa é a menor diferença de fase positiva que dá a intensidade pedida (existem outras soluções \delta=2\operatorname{arccos}(0,8)+2\pi n e também os simétricos com o sinal do cosseno, mas a menor positiva é a acima).

Passo 4

Relação entre diferença de fase \delta e diferença de caminho \Delta (aulas rápidas).\n
  • Cada comprimento de onda \lambda corresponde a uma variação de fase de 2\pi rad. Assim, se uma onda percorre um caminho a mais \Delta em relação à outra, a diferença de fase é proporcional a \Delta/\lambda vezes 2\pi:\n
\boxed{\,\delta(\Delta)=\dfrac{2\pi}{\lambda}\,\Delta\,}.\n
  • Intuição: para \Delta=\lambda temos \delta=2\pi (uma volta completa de fase); para \Delta=\lambda/2 temos \delta=\pi (inversão de fase), e assim por diante.

Passo 5

Aplicando a fórmula para \lambda=486,1\\ \mathrm{nm} e obtendo fator numérico.\n
  • Colocando \lambda=486,1\\ \mathrm{nm}=486,1\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=4,861\times10^{-7}\\ \mathrm{m}, o fator \dfrac{2\pi}{\lambda} vale aproximadamente\n
\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{4,861\times10^{-7}\\ \mathrm{m}}\approx 1,293\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}.\n
  • Portanto, escrevemos a diferença de fase em função da diferença de caminho (com \Delta em metros):\n
\boxed{\,\delta(\Delta)=\dfrac{2\pi}{\lambda}\,\Delta\approx 1,293\times10^{7}\,\Delta\quad(\text{rad, com }\Delta\text{ em m})\,}.\n
  • Se preferir \Delta em nanômetros, basta notar que 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m} e o coeficiente muda numericamente (multiplica-se por 10^{-9} de forma correspondente).

Resposta

(a) \delta=2\operatorname{arccos}(0,8)\approx 1,287\\ \mathrm{rad} (aprox. 1,29\\ \mathrm{rad}).\n
(b) \displaystyle \delta(\Delta)=\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta com \lambda=486,1\\ \mathrm{nm}, ou numericamente \displaystyle \delta(\Delta)\approx 1,293\times10^{7}\,\Delta\\ \mathrm{(rad,\\ com\\ }\Delta\text{ em m)}.

Exercícios relacionados