Use a transformação de Lorentz em sua forma diferencial para mostrar que simultaneidade não é um conceito absoluto.

Passo 1

O enunciado pede: usar a transformação de Lorentz em sua forma diferencial para mostrar que simultaneidade não é um conceito absoluto.
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas pelo enunciado ou padrão do problema):
  • Existem dois referenciais inerciais S e S'.
  • S' se movimenta em velocidade v em relação a S ao longo do eixo x.
  • c é a velocidade da luz no vácuo.
  • Queremos comparar dois eventos que são simultâneos em S (ou seja, têm o mesmo tempo em S) e ver se são simultâneos em S'.
    Nada mais é pedido além de usar a forma diferencial (diferenças entre coordenadas de dois eventos) da transformação de Lorentz.

Passo 2

Vou lembrar a transformação de Lorentz no formato usual (finita) entre coordenadas de um evento nos dois referenciais — isso é um conteúdo que você precisa saber para a prova:
t' = \gamma\!\left(t - \frac{v\,x}{c^{2}}\right),\qquad x' = \gamma\!\left(x - v\,t\right),
onde definimos
\beta=\frac{v}{c},\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Explicação rápida: \gamma é o fator de Lorentz, aparece por causa da invariância da velocidade da luz; ele diverge quando v\to c. Nessas fórmulas, t,x são as coordenadas do evento no referencial S e t',x' as coordenadas no referencial S'.

Passo 3

A forma diferencial (ou forma para diferenças entre dois eventos) obtém-se simplesmente subtraindo as coordenadas dos dois eventos em cada referencial. Se chamarmos os dois eventos de A e B, escrevemos \Delta t = t_B-t_A, \Delta x = x_B-x_A, e análogamente para \Delta t' e \Delta x'. Aplicando a transformação acima para os dois eventos e subtraindo, obtemos direto:
\Delta t' = \gamma\!\left(\Delta t - \frac{v\,\Delta x}{c^{2}}\right), \qquad \Delta x' = \gamma\!\left(\Delta x - v\,\Delta t\right).
Isto é a forma diferencial que o enunciado pediu. Ela serve para comparar tempos e posições entre dois eventos em diferentes referenciais.

Passo 4

Agora imponho a condição de simultaneidade em S: os dois eventos são simultâneos em S, então
\Delta t = 0.
Substituo isso na expressão para \Delta t' e simplifico:
\Delta t' = \gamma\!\left(0 - \frac{v\,\Delta x}{c^{2}}\right) = -\gamma\,\frac{v\,\Delta x}{c^{2}}.
Observe que esta é uma expressão direta, simples e muito usada em provas: quando \Delta t=0 em um referencial, o intervalo de tempo entre os mesmos eventos em outro referencial é proporcional a \Delta x (separação espacial) e à velocidade relativa v.

Passo 5

Interpretação didática e conclusão lógica (a parte central do raciocínio):
  • Se \Delta x \neq 0 (os eventos ocorrem em lugares diferentes em S), então
\Delta t' = -\gamma\,\frac{v\,\Delta x}{c^{2}} \neq 0,
ou seja, em S' os dois eventos não são simultâneos. Portanto, simultaneidade é relativa: dependerá do referencial escolhido.
  • Se, pelo contrário, \Delta x=0 (os dois eventos ocorrem no mesmo ponto espacial em S), então
\Delta t' = 0,
ou seja, só nesse caso especial a simultaneidade é preservada entre os referenciais (eventos coincidentes no mesmo ponto espacial têm ordem temporal invariável).
Significado físico do sinal: se v>0 e \Delta x>0, então \Delta t'<0, o que indica que em S' o evento que em S estava mais à direita acontece antes do outro — a ordem pode ser trocada dependendo dos sinais.

Passo 6

Exemplo numérico simples para fixar a ideia (útil para prova e para intuir a escala do efeito): suponha dois eventos simultâneos em S separados por \Delta x = 3{,}0\times 10^{5}\\ \text{m} (300 km), e tome v=0{,}5\,c. Então \gamma=1/\sqrt{1-(0{,}5)^{2}}\approx 1{,}1547. Calculamos
\Delta t' = -\gamma\,\frac{v\,\Delta x}{c^{2}} = -1{,}1547\cdot\frac{0{,}5\,c\cdot 3{,}0\times 10^{5}}{c^{2}} = -1{,}1547\cdot\frac{0{,}5\cdot 3{,}0\times 10^{5}}{c}.
Como c=3{,}0\times 10^{8}\\ \text{m/s}, segue
\Delta t' \approx -1{,}1547\cdot\frac{1{,}5\times 10^{5}}{3{,}0\times 10^{8}}\\ \text{s} \approx -5{,}8\times 10^{-4}\\ \text{s}\approx -0{,}58\\ \text{ms}.
Isso mostra numericamente que dois eventos percebidos simultâneos em S aparecem separados por cerca de meio milissegundo em S' — pequeno, mas diferente de zero. Em provas, não precisa de números grandes: basta mostrar que a expressão é proporcional a \Delta x e v e que só se anula se \Delta x=0 ou v=0.

Passo 7

Como usar isso na prova — guia prático: sempre que a questão pedir se dois eventos são simultâneos em outro referencial, faça: (1) calcule \Delta t e \Delta x no referencial dado; (2) use a fórmula
\Delta t' = \gamma\!\left(\Delta t - \frac{v\,\Delta x}{c^{2}}\right)
e verifique se \Delta t' é zero. Se \Delta t'=0 então há simultaneidade em S'; caso contrário não. Isso resolve problemas de forma direta e rápida sem precisar desenrolar transformações completas.

Resposta

\displaystyle \Delta t' = -\gamma\,\frac{v\,\Delta x}{c^{2}}. Portanto, se \Delta t=0 e \Delta x\neq 0 então \Delta t'\neq 0, logo simultaneidade não é absoluta.

Exercícios relacionados