Use a transformação de Lorentz em sua forma diferencial para mostrar que simultaneidade não é um conceito absoluto.
Passo 1
O enunciado pede: usar a transformação de Lorentz em sua forma diferencial para mostrar que simultaneidade não é um conceito absoluto.
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas pelo enunciado ou padrão do problema):
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas pelo enunciado ou padrão do problema):
- Existem dois referenciais inerciais
e . -
se movimenta em velocidade em relação a ao longo do eixo . -
é a velocidade da luz no vácuo. - Queremos comparar dois eventos que são simultâneos em
(ou seja, têm o mesmo tempo em ) e ver se são simultâneos em .
Nada mais é pedido além de usar a forma diferencial (diferenças entre coordenadas de dois eventos) da transformação de Lorentz.
Passo 2
Vou lembrar a transformação de Lorentz no formato usual (finita) entre coordenadas de um evento nos dois referenciais — isso é um conteúdo que você precisa saber para a prova:
onde definimos
Explicação rápida:
é o fator de Lorentz, aparece por causa da invariância da velocidade da luz; ele diverge quando
. Nessas fórmulas,
são as coordenadas do evento no referencial
e
as coordenadas no referencial
.
Passo 3
A forma diferencial (ou forma para diferenças entre dois eventos) obtém-se simplesmente subtraindo as coordenadas dos dois eventos em cada referencial. Se chamarmos os dois eventos de
e
, escrevemos
,
, e análogamente para
e
. Aplicando a transformação acima para os dois eventos e subtraindo, obtemos direto:
Isto é a forma diferencial que o enunciado pediu. Ela serve para comparar tempos e posições entre dois eventos em diferentes referenciais.
Passo 4
Agora imponho a condição de simultaneidade em
: os dois eventos são simultâneos em
, então
Substituo isso na expressão para
e simplifico:
Observe que esta é uma expressão direta, simples e muito usada em provas: quando
em um referencial, o intervalo de tempo entre os mesmos eventos em outro referencial é proporcional a
(separação espacial) e à velocidade relativa
.
Passo 5
Interpretação didática e conclusão lógica (a parte central do raciocínio):
- Se
(os eventos ocorrem em lugares diferentes em ), então
ou seja, em
os dois eventos não são simultâneos. Portanto, simultaneidade é relativa: dependerá do referencial escolhido.
- Se, pelo contrário,
(os dois eventos ocorrem no mesmo ponto espacial em ), então
ou seja, só nesse caso especial a simultaneidade é preservada entre os referenciais (eventos coincidentes no mesmo ponto espacial têm ordem temporal invariável).
Significado físico do sinal: se e
, então
, o que indica que em
o evento que em
estava mais à direita acontece antes do outro — a ordem pode ser trocada dependendo dos sinais.
Significado físico do sinal: se
Passo 6
Exemplo numérico simples para fixar a ideia (útil para prova e para intuir a escala do efeito): suponha dois eventos simultâneos em
separados por
(300 km), e tome
. Então
. Calculamos
Como
, segue
Isso mostra numericamente que dois eventos percebidos simultâneos em
aparecem separados por cerca de meio milissegundo em
— pequeno, mas diferente de zero. Em provas, não precisa de números grandes: basta mostrar que a expressão é proporcional a
e
e que só se anula se
ou
.
Passo 7
Como usar isso na prova — guia prático: sempre que a questão pedir se dois eventos são simultâneos em outro referencial, faça: (1) calcule
e
no referencial dado; (2) use a fórmula
e verifique se
é zero. Se
então há simultaneidade em
; caso contrário não. Isso resolve problemas de forma direta e rápida sem precisar desenrolar transformações completas.