Num experimento de espalhamento Compton, um elétron de massa
em repouso espalha um fóton de comprimento de onda
. Após o espalhamento, o fóton perde metade de sua energia. (a)Determine o comprimento de onda do fóton (em função de
) espalhado e determine o seu ângulo de espalhamento. (b) Calcule a energia totai e o momente linear do elétron após a colisão (expresse a resposta em função de
) (cada ítem vale
pt)
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dado: um elétron de massa
inicialmente em repouso. - Dado: um fóton incidente com comprimento de onda
(onde é a comprimento de onda de Compton do elétron). - Dado: após o espalhamento o fóton perde metade de sua energia (ou seja, a energia do fóton difundido é metade da energia do fóton incidente).
- Pedidos:
(a) Determinar o comprimento de onda do fóton espalhado em função dee o ângulo de espalhamento do fóton.
(b) Calcular a energia total e o momento linear do elétron após a colisão, expressando as respostas em função dee .
Passo 2
Primeiro vamos relacionar energia e comprimento de onda do fóton. Para um fóton:
onde
é a constante de Planck e
a velocidade da luz. Como foi dada
e lembrando a definição
, calculamos a energia inicial do fóton:
Comentário didático: isto mostra que, com
, a energia do fóton incidente é igual à energia de repouso do elétron. Ótimo — número simples que facilita as contas.
Passo 3
O enunciado diz que o fóton perde metade de sua energia no espalhamento. Então a energia do fóton espalhado é
Agora obtemos o comprimento de onda final
usando
. Assim:
Portanto o fóton espalhado tem comprimento de onda
.
Passo 4
Vamos usar a fórmula do deslocamento de Compton, que relaciona a mudança de comprimento de onda com o ângulo de espalhamento
:
Substituindo os comprimentos de onda que encontramos (
e
):
Logo
o que implica
Didaticamente: a mudança de uma unidade de
corresponde a espalhamento em ângulo reto.
Passo 5
Agora vamos determinar a energia total do elétron após a colisão usando conservação de energia. Energia total inicial (elétron em repouso + fóton incidente):
Energia total final (elétron + fóton espalhado):
onde
é a energia total do elétron após colisão (ou seja,
). Igualando:
Substituindo
:
Portanto a energia total do elétron após colisão é
.
Passo 6
Para o momento linear do elétron usamos conservação do momento linear vetorial. Escolha um sistema de coordenadas conveniente: que o fóton incidente vá na direção
. Como achamos
, o fóton espalhado pode ficar, por exemplo, na direção
. Então:
- Momento do fóton incidente (módulo e direção):
na direção . - Momento do fóton espalhado:
na direção .
O elétron inicial estava em repouso, então o momento final do elétroné:
Em componentes:
O módulo do momento do elétron é
Passo 7
(Faça um check rápido usando a relação relativística entre energia e momento)
A relação geral é
A relação geral é
Substituindo
obtemos
logo
que coincide com o resultado do passo anterior. Tudo consistente.
Resposta
(a)
(b)
(b)