Num experimento de espalhamento Compton, um elétron de massa m_{0} em repouso espalha um fóton de comprimento de onda \lambda=\lambda_{C}. Após o espalhamento, o fóton perde metade de sua energia. (a)Determine o comprimento de onda do fóton (em função de \lambda_{C} ) espalhado e determine o seu ângulo de espalhamento. (b) Calcule a energia totai e o momente linear do elétron após a colisão (expresse a resposta em função de m_{0} \mathrm{e} c ) (cada ítem vale \mathbf{1 , 0} pt)

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado: um elétron de massa \,m_{0}\, inicialmente em repouso.
  • Dado: um fóton incidente com comprimento de onda \,\lambda=\lambda_{C}\, (onde \,\lambda_{C}=\dfrac{h}{m_{0}c}\, é a comprimento de onda de Compton do elétron).
  • Dado: após o espalhamento o fóton perde metade de sua energia (ou seja, a energia do fóton difundido é metade da energia do fóton incidente).
  • Pedidos:
    (a) Determinar o comprimento de onda do fóton espalhado em função de \,\lambda_{C}\, e o ângulo de espalhamento do fóton.
    (b) Calcular a energia total e o momento linear do elétron após a colisão, expressando as respostas em função de m_{0} e c.

Passo 2

Primeiro vamos relacionar energia e comprimento de onda do fóton. Para um fóton:
E=\frac{hc}{\lambda},
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz. Como foi dada \lambda=\lambda_{C} e lembrando a definição \lambda_{C}=\dfrac{h}{m_{0}c}, calculamos a energia inicial do fóton:
E_{\text{inc}}=\frac{hc}{\lambda_{C}}=\frac{hc}{\tfrac{h}{m_{0}c}}=m_{0}c^{2}.
Comentário didático: isto mostra que, com \lambda=\lambda_{C}, a energia do fóton incidente é igual à energia de repouso do elétron. Ótimo — número simples que facilita as contas.

Passo 3

O enunciado diz que o fóton perde metade de sua energia no espalhamento. Então a energia do fóton espalhado é
E'=\frac{1}{2}E_{\text{inc}}=\frac{1}{2}m_{0}c^{2}.
Agora obtemos o comprimento de onda final \lambda' usando E'=\dfrac{hc}{\lambda'}. Assim:
\lambda'=\frac{hc}{E'}=\frac{hc}{\tfrac{1}{2}m_{0}c^{2}}=\frac{2hc}{m_{0}c^{2}}=2\frac{h}{m_{0}c}=2\lambda_{C}.
Portanto o fóton espalhado tem comprimento de onda \lambda'=2\lambda_{C}.

Passo 4

Vamos usar a fórmula do deslocamento de Compton, que relaciona a mudança de comprimento de onda com o ângulo de espalhamento \theta:
\Delta\lambda=\lambda'-\lambda=\lambda_{C}\left(1-\cos\theta\right).
Substituindo os comprimentos de onda que encontramos ( \lambda' = 2\lambda_{C} e \lambda=\lambda_{C}):
\Delta\lambda=2\lambda_{C}-\lambda_{C}=\lambda_{C}.
Logo
\lambda_{C}=\lambda_{C}\left(1-\cos\theta\right)\quad\Rightarrow\quad 1-\cos\theta=1,
o que implica
\cos\theta=0 \quad\Rightarrow\quad \theta=90^\circ.
Didaticamente: a mudança de uma unidade de \lambda_{C} corresponde a espalhamento em ângulo reto.

Passo 5

Agora vamos determinar a energia total do elétron após a colisão usando conservação de energia. Energia total inicial (elétron em repouso + fóton incidente):
E_{\text{tot,i}}=m_{0}c^{2}+E_{\text{inc}}=m_{0}c^{2}+m_{0}c^{2}=2m_{0}c^{2}.
Energia total final (elétron + fóton espalhado):
E_{\text{tot,f}}=E_{e}+E',
onde E_{e} é a energia total do elétron após colisão (ou seja, E_{e}=\gamma m_{0}c^{2}). Igualando:
E_{e}+E'=2m_{0}c^{2}.
Substituindo E'=\tfrac{1}{2}m_{0}c^{2}:
E_{e}=2m_{0}c^{2}-\tfrac{1}{2}m_{0}c^{2}=\tfrac{3}{2}m_{0}c^{2}.
Portanto a energia total do elétron após colisão é \,E_{e}=\dfrac{3}{2}m_{0}c^{2}.

Passo 6

Para o momento linear do elétron usamos conservação do momento linear vetorial. Escolha um sistema de coordenadas conveniente: que o fóton incidente vá na direção +\hat{x}. Como achamos \theta=90^\circ, o fóton espalhado pode ficar, por exemplo, na direção +\hat{y}. Então:
  • Momento do fóton incidente (módulo e direção): \,p_{\text{inc}}=\dfrac{E_{\text{inc}}}{c}= \dfrac{m_{0}c^{2}}{c}=m_{0}c na direção +\hat{x}.
  • Momento do fóton espalhado: \,p'=\dfrac{E'}{c}=\dfrac{\tfrac{1}{2}m_{0}c^{2}}{c}=\tfrac{1}{2}m_{0}c na direção +\hat{y}.
    O elétron inicial estava em repouso, então o momento final do elétron \vec{p}_{e} é:
\vec{p}_{e}=\vec{p}_{\text{inc}}-\vec{p}\,'.
Em componentes:
p_{e,x}=m_{0}c\,,\qquad p_{e,y}=-\tfrac{1}{2}m_{0}c \quad(\text{oucho, dependendo do sentido escolhido}; o módulo será o mesmo).óá
O módulo do momento do elétron é
p_{e}=\sqrt{p_{e,x}^{2}+p_{e,y}^{2}}=\sqrt{(m_{0}c)^{2}+\left(\tfrac{1}{2}m_{0}c\right)^{2}}=m_{0}c\sqrt{1+\tfrac{1}{4}}=m_{0}c\sqrt{\tfrac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\,m_{0}c.

Passo 7

(Faça um check rápido usando a relação relativística entre energia e momento)
A relação geral é
E_{e}^{2}=(p_{e}c)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}.
Substituindo E_{e}=\tfrac{3}{2}m_{0}c^{2} obtemos
(p_{e}c)^{2}=E_{e}^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}=\left(\tfrac{3}{2}m_{0}c^{2}\right)^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}= \left(\tfrac{9}{4}-1\right)m_{0}^{2}c^{4}=\tfrac{5}{4}m_{0}^{2}c^{4},
logo
p_{e}= \frac{\sqrt{5}}{2}\,m_{0}c,
que coincide com o resultado do passo anterior. Tudo consistente.

Resposta

(a) \lambda'=2\lambda_{C},\; \theta=90^\circ
(b) E_{e}=\dfrac{3}{2}m_{0}c^{2},\; p_{e}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\,m_{0}c

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