Questão 5) Calcule o volume de um tronco de cilindro de raio 6, entre os planos z=3 e z=-3.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que ele fornece:
  • Pede: calcular o volume do tronco de cilindro limitado pelas duas superfícies planas z=3 e z=-3.
  • Dados fornecidos:
    • raio do cilindro: r=6.
    • planos que cortam o cilindro: z=3 e z=-3.
Observação clara: o enunciado descreve a porção do cilindro que fica entre esses dois planos paralelos (ou seja, a “fatia” do cilindro entre z=-3 e z=3). A pergunta é apenas o volume dessa porção.

Passo 2

Entendendo a geometria e a estratégia mais direta:
  • A porção descrita é um cilindro reto circular de raio r=6 e de altura igual à distância entre os planos z=3 e z=-3.
  • A altura h é a diferença entre os valores de z:
h = 3 - (-3) = 6.
  • Fórmula básica (geometria elementar) para o volume de um cilindro reto: o volume é a área da base vezes a altura. A base é um círculo de raio r, cuja área é \pi r^{2}.
  • Portanto a fórmula que vamos usar é
V = (\text{área da base}) \times h = \pi r^{2} h,á
onde:
  • V é o volume pedido,
  • r é o raio da base (aqui r=6),
  • h é a altura (aqui h=6).

Passo 3

Aplicando a fórmula diretamente com os valores dados:
  • Primeiro calcule r^{2}:
r^{2} = 6^{2} = 36.
  • Agora calcule \pi r^{2} h:
V = \pi \cdot 36 \cdot 6.
  • Multiplicando 36 por 6:
36 \cdot 6 = 216.
  • Portanto
V = 216\pi.

Passo 4

Método alternativo por integração (útil para prova, mostra entendimento): fazer o volume como integral tripla em coordenadas cilíndricas.
  • Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) o elemento de volume é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Os limites são 0\le r\le 6, 0\le \theta\le 2\pi, -3\le z\le 3.
  • Então
V = \int_{z=-3}^{3}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{6} r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Integramos por partes (primeiro em r):
\int_{r=0}^{6} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{6} = \frac{6^{2}}{2} = \frac{36}{2} = 18.
  • Depois em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 18\,d\theta = 18\cdot 2\pi = 36\pi.
  • Finalmente em z:
\int_{-3}^{3} 36\pi\,dz = 36\pi \cdot (3-(-3)) = 36\pi \cdot 6 = 216\pi.
  • Resultado igual ao método direto, como esperado.

Passo 5

Interpretação final e nota prática:
  • O volume encontrado é \,216\pi. Se o enunciado não informar unidades, o resultado fica em unidades cúbicas genéricas (por exemplo, unidades de volume).
  • Dica para prova: identificar rapidamente que a distância entre os planos dá a altura e aplicar V=\pi r^{2}h costuma ser o caminho mais rápido; a integral é boa para justificar ou quando a base não for circular uniforme.

Resposta

\,216\pi

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