Questão 5) Calcule o volume de um tronco de cilindro de raio 6, entre os planos
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que ele fornece:
- Pede: calcular o volume do tronco de cilindro limitado pelas duas superfícies planas
e . - Dados fornecidos:
- raio do cilindro:
. - planos que cortam o cilindro:
e .
- raio do cilindro:
Observação clara: o enunciado descreve a porção do cilindro que fica entre esses dois planos paralelos (ou seja, a “fatia” do cilindro entre
e
). A pergunta é apenas o volume dessa porção.
Passo 2
Entendendo a geometria e a estratégia mais direta:
- A porção descrita é um cilindro reto circular de raio
e de altura igual à distância entre os planos e . - A altura
é a diferença entre os valores de :
- Fórmula básica (geometria elementar) para o volume de um cilindro reto: o volume é a área da base vezes a altura. A base é um círculo de raio
, cuja área é . - Portanto a fórmula que vamos usar é
onde:
-
é o volume pedido, -
é o raio da base (aqui ), -
é a altura (aqui ).
Passo 3
Aplicando a fórmula diretamente com os valores dados:
- Primeiro calcule
:
- Agora calcule
:
- Multiplicando
por :
- Portanto
Passo 4
Método alternativo por integração (útil para prova, mostra entendimento): fazer o volume como integral tripla em coordenadas cilíndricas.
- Em coordenadas cilíndricas
o elemento de volume é . - Os limites são
, , . - Então
- Integramos por partes (primeiro em
):
- Depois em
:
- Finalmente em
:
- Resultado igual ao método direto, como esperado.
Passo 5
Interpretação final e nota prática:
- O volume encontrado é
. Se o enunciado não informar unidades, o resultado fica em unidades cúbicas genéricas (por exemplo, unidades de volume). - Dica para prova: identificar rapidamente que a distância entre os planos dá a altura e aplicar
costuma ser o caminho mais rápido; a integral é boa para justificar ou quando a base não for circular uniforme.