Um aquecedor de imersão, de 1000 W , tem uma forma de um sólido retangular com dimensões de 16 cm por 10 cm por 1 cm . Determine a temperatura da superfície do aquecedor se ele estiver orientado em água a 295 K com
a dimensão de 10 cm na vertical

Passo 1

O enunciado fornece um aquecedor retangular imerso em água a uma temperatura de 295\\ \mathrm{K}, com potência Q=1000\\ \mathrm{W} e dimensões 16\\ \mathrm{cm}\times10\\ \mathrm{cm}\times1\\ \mathrm{cm}. Ele está orientado de modo que o lado de 10\\ \mathrm{cm} fica na vertical. O objetivo é determinar a temperatura da superfície do aquecedor usando convecção livre em um fluido (água). O conteúdo principal é a correlação de Churchill–Chu para placas verticais e o balanço de calor Q=hA(T_s-T_\infty).

Passo 2

Calcular a área total de superfície do paralelepípedo: as seis faces medem
2(16\times10)+2(16\times1)+2(10\times1)=372\\ \mathrm{cm}^2
convertendo para metros quadrados,
A=372\times10^{-4}=0,0372\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Adotar propriedades da água a T_\infty=295\\ \mathrm{K}: \beta=1/T_\infty=3{,}39\times10^{-3}\\ \mathrm{K^{-1}}, \nu=8{,}90\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}, \alpha=1{,}46\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}, \mathrm{Pr}=\nu/\alpha\approx6{,}1, k=0{,}613\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.

Passo 4

Usar a correlação de Churchill–Chu para a Nu média em placa vertical de altura L=0,10\\ \mathrm{m}:
\overline{\mathrm{Nu}}_L =\biggl[0{,}825 +\frac{0{,}387\;\mathrm{Ra}_L^{1/6}} {\bigl(1+(0{,}492/\mathrm{Pr})^{9/16}\bigr)^{8/27}} \biggr]^2,
onde
\mathrm{Ra}_L =\frac{g\,\beta\,(T_s-T_\infty)\,L^3}{\nu\,\alpha}.
O coeficiente convectivo fica
h=\frac{\overline{\mathrm{Nu}}_L\,k}{L}.

Passo 5

Fazer o balanço entre a potência gerada e a dissipação por convecção:
Q=h\,A\,(T_s-T_\infty).
Como h depende de T_s por meio de \mathrm{Ra}_L, deve-se resolver essa equação iterativamente.

Passo 6

Iterando até convergência:
Primeiro chute T_s^{(0)}=330\\ \mathrm{K} \Delta T=35\\ \mathrm{K}: calcula-se \mathrm{Ra}_L^{(0)}, \overline{\mathrm{Nu}}_L^{(0)}, h^{(0)} e \Delta T^{(1)}=Q/(h^{(0)}A)\approx18{,}7\\ \mathrm{K}.
Repetindo para \Delta T=18{,}7\\ \mathrm{K} obtém-se h\approx1500\\ \mathrm{W/(m^2K)} e \Delta T\approx18{,}0\\ \mathrm{K}. Mais uma iteração dá \Delta T\approx17{,}9\\ \mathrm{K}, mostrando convergência rápida.

Resposta

A temperatura da superfície do aquecedor é aproximadamente
T_s=295\\ \mathrm{K}+17{,}9\\ \mathrm{K}=312{,}9\\ \mathrm{K},
ou seja, cerca de 313\\ \mathrm{K}.

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