20.7 Um cilindro de cobre de 20,3 \mathrm{~cm} de comprimento, com um diâmetro de 2,54 \mathrm{~cm}, está sendo usado para calcular o coeficiente de transferência de calor em um experimento de laboratório. Quando aquecido para uma temperatura uniforme de 32,5^{\circ} \mathrm{C} e então imerso em um banho líquido de -1^{\circ} \mathrm{C}, a temperatura no centro do cilindro atinge um valor de 4,8^{\circ} \mathrm{C} em 3 min . Supondo que a troca de calor entre o cilindro e o banho de água seja puramente por convecção, que valor do coeficiente de superfície é indicado?

Passo 1

Resumindo: temos um cilindro de cobre de comprimento L=0{,}203\\ \mathrm{m} e diâmetro D=0{,}0254\\ \mathrm{m}. Inicialmente ele está a T_i=32{,}5\,^\circ\mathrm{C} e é imerso num banho a T_\infty=-1\,^\circ\mathrm{C}. Após t=180\\ \mathrm{s} a temperatura no centro cai para T=4{,}8\,^\circ\mathrm{C}. Queremos o coeficiente de convecção h. Como o cobre conduz muito bem calor e o corpo é pequeno, podemos usar o modelo de capacitância lumped, em que a temperatura do sólido obedece a uma lei exponencial.

Passo 2

Calculamos volume V e área de troca A:
r = \frac{D}{2} = 0{,}0127\\ \mathrm{m},
V = \pi r^2 L = \pi (0{,}0127)^2(0{,}203)\approx 1{,}03\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3},
A = \pi D L + 2\pi r^2 \approx \pi(0{,}0254)(0{,}203)+2\pi(0{,}0127)^2 \approx 0{,}01723\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Propriedades do cobre (tabela): densidade \rho=8933\\ \mathrm{kg/m^3}, calor específico c=385\\ \mathrm{J/(kg\,K)}. A lei de resfriamento de lumped é
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} = \exp\Bigl(-\frac{h\,A}{\rho\,V\,c}\,t\Bigr).

Passo 4

Substituímos valores numéricos:
\frac{T - T_\infty}{T_i - T_\infty} = \frac{4{,}8 -(-1)}{32{,}5 -(-1)} = \frac{5{,}8}{33{,}5}\approx0{,}1731,
logo
\ln(0{,}1731) = -\frac{h\,A}{\rho\,V\,c}\,t.
Dessa forma
h = -\frac{\rho\,V\,c}{A\,t}\,\ln(0{,}1731).
Calculando passo a passo:
\rho V c = 8933\cdot1{,}03\times10^{-4}\cdot385 \approx 354{,}4\\ \mathrm{J/K},
A\,t = 0{,}01723\cdot180 \approx 3{,}101\\ \mathrm{m^2\,s},
\ln(0{,}1731)\approx -1{,}751,
h = \frac{354{,}4}{3{,}101}\times1{,}751 \approx 200\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.

Resposta

h \approx 200\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.

Exercícios de Livros Relacionados