20.6 Determine a temperatura da superfície, em estado estacionário, de um cabo elétrico, de 25 cm de diâmetro, que está suspenso horizontalmente em um ar parado, em que calor é dissipado pelo cabo a uma taxa de 27 W por metro de comprimento. A temperatura do ar é 30^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de superfície, em regime permanente, de um cabo cilíndrico horizontal de diâmetro D=0,25,m que dissipa 27,W por metro de comprimento, no ar parado a 30^\circ\mathrm{C}. O conteúdo é convecção natural em cilindro horizontal: vamos usar a correlação de Nusselt para convecção natural, calculando o coeficiente h e impondo balanço de potência Q' = h\,\pi D\,(T_s - T_\infty).

Passo 2

No regime estacionário, a potência por comprimento Q'=27,W/m deve ser retirada por convecção na superfície:
Q' \;=\; h \;A_s\;\bigl(T_s - T_\infty\bigr) \quad\text{com}\quad A_s = \pi D\cdot1\,\text{m},
logo
Q' = h\,\pi D\,(T_s - T_\infty).

Passo 3

Para convecção natural em cilindro horizontal, usamos
\mathrm{Nu}_D = 0,53\,( \mathrm{Gr}_D \,\mathrm{Pr} )^{0,25},
com
\mathrm{Nu}_D = \frac{h\,D}{k}, \quad \mathrm{Gr}_D = \frac{g\,\beta\,(T_s - T_\infty)\,D^3}{\nu^2},
onde k, \nu, \beta, \mathrm{Pr} avaliam-se na temperatura‐filme \displaystyle T_f=\frac{T_s + T_\infty}{2}.

Passo 4

Substituindo h = \frac{k}{D}\,0,53\,( \mathrm{Gr}_D\,\mathrm{Pr})^{0,25} em Q' = h\,\pi D\,\Delta T (com \Delta T = T_s - T_\infty), obtém‐se
Q' = \pi k\;0,53\;(g\,\beta\,D^3\,\mathrm{Pr}/\nu^2)^{0,25}\;\Delta T^{1,25}.
Chamando
A = \pi k\;0,53\;\biggl(\frac{g\,\beta\,D^3\,\mathrm{Pr}}{\nu^2}\biggr)^{0,25},
fica
Q' = A\,\Delta T^{1,25} \quad\Longrightarrow\quad \Delta T = \Bigl(\frac{Q'}{A}\Bigr)^{0,8}.

Passo 5

Estimando propriedades do ar na temperatura‐filme (aprox.\ 35^\circ\mathrm{C}):
k\approx0,0263,\quad \nu\approx1{,}78\times10^{-5},\quad \beta\approx\frac1{308{,}15},\quad \mathrm{Pr}\approx0,71,
calcula‐se
A \approx1{,}42\quad\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}^{1{,}25}\,\mathrm{m}}
e, em seguida,
\Delta T = \Bigl(\tfrac{27}{1{,}42}\Bigr)^{0,8}\approx10{,}5\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Logo a temperatura de superfície é
T_s = T_\infty + \Delta T = 30^\circ\mathrm{C} + 10{,}5\\ \mathrm{K} \approx 40{,}5^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura da superfície do cabo, em estado estacionário, é aproximadamente 40{,}5^\circ\mathrm{C}.

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