8.3 Uma linha hidráulica de 0,635 \mathrm{~cm} se rompe repentinamente a 8 m de um reservatório com uma pressão manométrica de 207 kPa . Compare as vazões (em metros cúbicos por segundo) para um escoamento laminar e invíscido a partir de uma linha rompida.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma linha hidráulica de diâmetro interior D=0{,}635\\ \mathrm{cm}=0{,}00635\\ \mathrm{m} e comprimento L=8\\ \mathrm{m}, conectada a um reservatório cuja pressão manométrica é \Delta P=207\\ \mathrm{kPa}. Queremos comparar a vazão para (a) escoamento invíscido (sem perda de carga por atrito) e (b) escoamento laminar viscoso (regime de Poiseuille). Usaremos (i) a equação de Bernoulli simplificada e (ii) a lei de Poiseuille.

Passo 2

Definimos as propriedades do fluido (água à temperatura ambiente): densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e viscosidade dinâmica \mu=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Calculamos a área da seção transversal do tubo:
A = \frac{\pi D^2}{4}
Substituindo D=0{,}00635\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi\,(0{,}00635)^2}{4} \approx 3{,}17\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Para o escoamento invíscido aplicamos Bernoulli entre o reservatório (pressão manométrica \Delta P) e a saída livre (atmosfera), desprezando perda de carga:
\Delta P = \tfrac12\,\rho\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,\Delta P}{\rho}}.
Com \Delta P=207\times10^3\\ \mathrm{Pa} e \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}:
v_{\rm inv} = \sqrt{\frac{2\,(207\times10^3)}{1000}} \approx 20{,}36\\ \mathrm{m/s}.
A vazão invíscida é então
Q_{\rm inv} = A\,v_{\rm inv} \approx (3{,}17\times10^{-5})\,(20{,}36) \approx 6{,}45\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Para o escoamento laminar em tubo reto usamos a lei de Poiseuille:
Q_{\rm lam} = \frac{\pi\,D^4\,\Delta P}{128\,\mu\,L}.
Calculamos D^4=(0{,}00635)^4\approx1{,}63\times10^{-9}\\ \mathrm{m^4}. Logo,
Q_{\rm lam} = \frac{\pi\,(1{,}63\times10^{-9})\,(207\times10^3)} {128\,(1{,}0\times10^{-3})\,(8)} \approx 1{,}03\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Comparando os resultados:
Q_{\rm inv}\approx 6{,}45\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}, \quad Q_{\rm lam}\approx 1{,}03\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.
O escoamento laminar (Poiseuille) prevê uma vazão cerca de 1{,}6 vezes maior que o resultado invíscido.

Resposta

Q_{\rm inv}\approx 6{,}45\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s},\quad Q_{\rm lam}\approx 1{,}03\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.

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