20.48 Um sistema para aquecer água, com uma temperatura de entrada de 25^{\circ} \mathrm{C} e uma temperatura de saída de 70^{\circ} \mathrm{C}, envolve passar a água por um tubo com parede espessa, com diâmetros interno e externo de 25 e 45 mm , respectivamente. A superfície externa do tubo está bem isolada e o aquecimento elétrico dentro da parede do tubo fornece uma geração uniforme de \dot{q}=1,5 \times 10^{6} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}.
a. Para uma taxa mássica de água, \dot{m}=0,12 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, em quanto tempo o tubo atingirá a temperatura externa desejada?
b. Se a superfície interna do tubo na saída for T_{s}=110^{\circ} \mathrm{C}, qual será o coeficiente convectivo local de transferência de calor nessa localização?

Passo 1

O enunciado trata de água que entra a \,25^\circ\mathrm{C} e deve sair a \,70^\circ\mathrm{C} num tubo de parede espessa (diâmetros interno d_i=25\:\mathrm{mm}, externo d_o=45\:\mathrm{mm}), cuja superfície externa está isolada e na parede há geração volumétrica uniforme \dot q=1{,}5\times10^6\:\mathrm{W/m^3}.
a) Em regime permanente toda a potência gerada no tubo vai para a água, ou seja
\dot q\,V = \dot m\,c_p\,(T_{\text{out}}-T_{\text{in}})
com V o volume da parede e \dot m=0{,}12\:\mathrm{kg/s}, c_p=4180\:\mathrm{J/(kg\cdot K)}, \Delta T=70-25=45\:\mathrm{K}. Daí encontramos o comprimento L do tubo que produz essa energia; em seguida calculamos o tempo de residência da água.
b) No ponto de saída queremos o coeficiente convectivo local h sabendo que a superfície interna está a T_s=110^\circ\mathrm{C}. Usamos correlação de convecção forçada interna (Dittus–Boelter) com propriedades avaliadas à temperatura‐filme.

Passo 2

Energia gerada por metro de tubo: a área da parede por metro é
A_w = \pi\bigl(r_o^2 - r_i^2\bigr) =\pi\bigl((0,0225)^2 - (0,0125)^2\bigr)\approx1{,}0996\times10^{-3}\:\mathrm{m^2}.
Logo potência gerada por metro:
\dot Q' = \dot q\,A_w \approx1{,}5\times10^6\cdot1{,}0996\times10^{-3}\approx1649{,}4\:\mathrm{W/m}.
Para aquecer a água precisamos de \dot Q = \dot m\,c_p\,\Delta T =0{,}12\cdot4180\cdot45\approx22572\:\mathrm{W}.
Igualando \dot Q=\dot Q'\,L obtemos
L = \frac{22572}{1649{,}4}\approx13{,}68\:\mathrm{m}.

Passo 3

Volume interno do tubo:
V_i = \frac{\pi\,d_i^2}{4}\,L =\frac{\pi\,(0,025)^2}{4}\times13{,}68\approx6{,}72\times10^{-3}\:\mathrm{m^3}.
Vazão volumétrica da água (densidade \rho\approx1000\:\mathrm{kg/m^3}):
\dot V = \frac{\dot m}{\rho} = \frac{0{,}12}{1000}\approx1{,}2\times10^{-4}\:\mathrm{m^3/s}.
Tempo de residência (tempo que a água leva para percorrer o tubo e sair a 70^\circ\mathrm{C}):
t = \frac{V_i}{\dot V} =\frac{6{,}72\times10^{-3}}{1{,}2\times10^{-4}}\approx56\:\mathrm{s}.

Passo 4

Para o coeficiente convectivo em saída, supondo fluxo turbulento, usamos Dittus–Boelter
\mathrm{Nu} = 0{,}023\,\mathrm{Re}^{0,8}\,\mathrm{Pr}^{0,4}, \quad h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{d_i}.
No ponto de saída T_{\text{bulk}}=70^\circ\mathrm{C}, T_s=110^\circ\mathrm{C}, então T_{\rm filme}\approx(70+110)/2=90^\circ\mathrm{C}. A 90\circC: \rho\approx965\:\mathrm{kg/m^3},\;\mu\approx3{,}1\times10^{-4}\:\mathrm{Pa\cdot s},\;k\approx0{,}68\:\mathrm{W/(m\cdot K)},\;\mathrm{Pr}\approx1{,}75.
Velocidade média
v = \frac{\dot m}{\rho\,(\pi d_i^2/4)} \approx\frac{0{,}12}{965\cdot4{,}91\times10^{-4}}\approx0{,}25\:\mathrm{m/s}, \mathrm{Re}=\rho v d_i/\mu\approx965\cdot0{,}25\cdot0,025/3{,}1\times10^{-4}\approx2,0\times10^4.
Logo
\mathrm{Nu}\approx0{,}023\,(2{,}0\times10^4)^{0,8}\,(1{,}75)^{0,4}\approx78{,}6, \quad h\approx\frac{78{,}6\cdot0{,}68}{0{,}025}\approx2140\:\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Resposta

a) t\approx56\:\mathrm{s}.
b) h\approx2{,}1\times10^3\:\mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

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