Fernanda quer fazer un colar usando 8 contas vernelhas indistinguiveis e 32 contas azuis indistinguíveis de modo que haja pelo menos 2 contas azuis entre quaisquer 2 contas vermelhas. De quantas maneiras isto pode ser feito?

Passo 1

O enunciado pede o número de sequências lineares formadas por 8 contas vermelhas idênticas e 32 contas azuis idênticas de modo que entre quaisquer duas vermelhas haja pelo menos 2 azuis. O conteúdo principal aqui é usar a técnica de “stars and bars” (distribuição de bolas em caixas) para modelar as lacunas de contas azuis entre as vermelhas.

Passo 2

Vamos pensar na montagem como uma sequência com 8 vermelhas e 32 azuis. Entre cada par de vermelhas internas precisamos de pelo menos 2 azuis, mas nas extremidades (antes da primeira vermelha e depois da última) não há restrição mínima. Definimos:
\displaystyle x_{0} = número de azuis antes da 1ª vermelha,
\displaystyle x_{8} = número de azuis após a 8ª vermelha,
\displaystyle x_{i} = número de azuis entre a i-ésima e a (i+1)-ésima vermelhas, para i=1,2,\dots,7.
A condição “pelo menos 2 azuis” vale apenas para x_{1},\dots,x_{7}, ou seja
x_{1},x_{2},\dots,x_{7}\;\ge2
e
x_{0},x_{8}\;\ge0,
com
x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{7}+x_{8}=32.

Passo 3

Para eliminar a condição “ \ge2” nas variáveis x_{1},\dots,x_{7}, fazemos a troca
y_{i}=x_{i}-2,\quad i=1,\dots,7,
de modo que y_{i}\ge0. Então
x_{i}=y_{i}+2,\quad i=1,\dots,7,
e a soma total vira
x_{0}+\bigl(y_{1}+2\bigr)+\cdots+\bigl(y_{7}+2\bigr)+x_{8} =32 \;\Longrightarrow\; x_{0}+x_{8}+\sum_{i=1}^{7}y_{i}=32-2\cdot7=18.

Passo 4

Agora temos 9 variáveis não negativas
\,x_{0},x_{8},y_{1},\dots,y_{7}\, somando 18. Pelo teorema de stars and bars, o número de soluções inteiras não negativas de
x_{0}+x_{8}+y_{1}+\dots+y_{7}=18
é
\binom{18+9-1}{9-1} =\binom{26}{8}.

Resposta

\displaystyle \binom{26}{8}=1562275 maneiras possíveis.

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