Seis meninas e seis meninos devem dar as mãos de modo a formar um cículo. De quantos nodo isso é possível se não quisermos que dois meninos ou duas meninas fiquem com as mãos dadas?
Passo 1
O enunciado pede o número de modos de dispor seis meninos e seis meninas em círculo segurando as mãos, de forma que nunca haja duas pessoas do mesmo sexo lado a lado. O conteúdo principal é permutação circular com restrição de alternância de gêneros. Vamos usar a ideia de fixar uma pessoa para eliminar simetrias de rotação e depois contar as permutações dos demais.
Passo 2
Para tirar a simetria de rotação, fixamos um dos meninos numa posição arbitrária do círculo. Isso garante que diferentes rotações do mesmo arranjo não sejam contadas várias vezes.
Passo 3
Com um menino fixo, restam
meninos para ocupar as outras posições de menino ao redor do círculo (que intercalam com as posições de menina). Esses
meninos podem ser dispostos de
maneiras.
Passo 4
Agora há
lacunas entre os meninos (alternadas) para as
meninas, e elas podem ser arranjadas nessas posições de
formas.
Passo 5
Pela regra do produto, o total de arranjos é