Seis meninas e seis meninos devem dar as mãos de modo a formar um cículo. De quantos nodo isso é possível se não quisermos que dois meninos ou duas meninas fiquem com as mãos dadas?

Passo 1

O enunciado pede o número de modos de dispor seis meninos e seis meninas em círculo segurando as mãos, de forma que nunca haja duas pessoas do mesmo sexo lado a lado. O conteúdo principal é permutação circular com restrição de alternância de gêneros. Vamos usar a ideia de fixar uma pessoa para eliminar simetrias de rotação e depois contar as permutações dos demais.

Passo 2

Para tirar a simetria de rotação, fixamos um dos meninos numa posição arbitrária do círculo. Isso garante que diferentes rotações do mesmo arranjo não sejam contadas várias vezes.

Passo 3

Com um menino fixo, restam 5 meninos para ocupar as outras posições de menino ao redor do círculo (que intercalam com as posições de menina). Esses 5 meninos podem ser dispostos de 5! maneiras.

Passo 4

Agora há 6 lacunas entre os meninos (alternadas) para as 6 meninas, e elas podem ser arranjadas nessas posições de 6! formas.

Passo 5

Pela regra do produto, o total de arranjos é
5! \times 6! = 120 \times 720 = 86\,400.

Resposta

86\,400 maneiras.

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