De quantas maneiras diferentes podemos aplicar três provas de vestibular nos primeiros 7 dias de dezembro sem que haja provas em dias consecutivos?
Passo 1
O enunciado pede que a gente escolha
dias de prova entre os
primeiros dias de dezembro, com a restrição de que não pode haver provas em dias consecutivos. Este é um problema de combinatória, mais especificamente de “escolha de
itens em
posições sem elementos consecutivos”.
Passo 2
Para garantir que não haja dias consecutivos de prova, vamos modelar a situação assim: temos
dias corridos e queremos “colocar”
provas nesses dias de modo que entre duas provas sempre haja pelo menos um dia livre.
Passo 3
Uma forma clássica é usar variáveis para contar os dias livres antes, entre e depois das provas. Chamando
dias livres antes da
ª prova,
dias livres entre
ª e
ª prova,
dias livres entre
ª e
ª prova,
dias livres após a
ª prova,
e lembrando que e
devem ser pelo menos
para evitar consecutividade, subtraímos
de cada um deles. Como há
dias totais e
dias ocupados pelas provas, sobra(m)
e lembrando que
dias livres para distribuir livremente entre
. Logo temos a equação em não negativos
Passo 4
O número de soluções inteiras não negativas de
é dado por
Esse resultado coincide com a fórmula geral para escolher
dias em
sem consecutivos, que é
aqui
.