De quantas maneiras diferentes podemos aplicar três provas de vestibular nos primeiros 7 dias de dezembro sem que haja provas em dias consecutivos?

Passo 1

O enunciado pede que a gente escolha 3 dias de prova entre os 7 primeiros dias de dezembro, com a restrição de que não pode haver provas em dias consecutivos. Este é um problema de combinatória, mais especificamente de “escolha de k itens em n posições sem elementos consecutivos”.

Passo 2

Para garantir que não haja dias consecutivos de prova, vamos modelar a situação assim: temos 7 dias corridos e queremos “colocar” 3 provas nesses dias de modo que entre duas provas sempre haja pelo menos um dia livre.

Passo 3

Uma forma clássica é usar variáveis para contar os dias livres antes, entre e depois das provas. Chamando
\displaystyle y_{1} = dias livres antes da 1ª prova,
\displaystyle y_{2} = dias livres entre 1ª e 2ª prova,
\displaystyle y_{3} = dias livres entre 2ª e 3ª prova,
\displaystyle y_{4} = dias livres após a 3ª prova,
e lembrando que y_{2} e y_{3} devem ser pelo menos 1 para evitar consecutividade, subtraímos 1 de cada um deles. Como há 7 dias totais e 3 dias ocupados pelas provas, sobra(m)
7 \;-\; 3 \;-\; 2 \;=\; 2
dias livres para distribuir livremente entre y_{1},y_{2}-1,y_{3}-1,y_{4}. Logo temos a equação em não negativos
y_{1} + (y_{2}-1) + (y_{3}-1) + y_{4} \;=\; 2.

Passo 4

O número de soluções inteiras não negativas de
y_{1} + (y_{2}-1) + (y_{3}-1) + y_{4} = 2
é dado por
\binom{2 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{5}{3} = 10.
Esse resultado coincide com a fórmula geral para escolher k dias em n sem consecutivos, que é
\binom{n - k + 1}{k},
aqui \binom{7 - 3 + 1}{3} = \binom{5}{3} = 10.

Resposta

10 maneiras diferentes.

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