Ferraz e Lisbôa (2011) estudaram a adsorção de fenóis em leito fixo de carvão ativado e obtiveram os resultados tabelados a seguir para uma vazão de 10 \mathrm{~mL} / \mathrm{min}, concentração de entrada de 7600 ppm , altura do leito 24 cm e diâmetro 1,4 \mathrm{~cm}. Considerando a concentração no tempo de ruptura de 15 \%, calcule:
(a) o tempo de ruptura
(b) o tempo útil
(c) o tempo total
(d) altura não útil do leito
(e) altura útil
t(min) \mathrm{C} / \mathrm{C}_{0} t(min) \mathrm{C} / \mathrm{C}_{0}
0 0 90,06 0,74
1,88 0 120,09 0,88
4,69 0 151,04 0,87
10,32 0,06 180,13 0,90
15,01 0,22 210,15 0,92
19,7 0,40 241,15 0,93
30,96 0,53 270,19 0,95
39,40 0,59 300,21 0,97
49,72 0,67
60,04 0,68

Passo 1

O enunciado pede que se calcule, a partir da curva experimental de saída, os tempos e as alturas do leito relativos aos pontos de ruptura e esgotamento. Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela fornecida):
  • Vazão Q = 10\\ \mathrm{mL/min}.
  • Concentração de entrada C_0 = 7600\\ \mathrm{ppm} (valor informado, não será necessário diretamente nos cálculos abaixo).
  • Altura total do leito H = 24\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro do leito d = 1{,}4\\ \mathrm{cm} (não será necessário para os cálculos pedidos).
  • Critério de ruptura: concentração relativa C/C_0 = 0{,}15 (ou seja, ruptura quando o efluente atinge 15% da entrada).
  • Da tabela (valores que vou usar para interpolar):
    • Em t_1 = 10{,}32\\ \mathrm{min}, \dfrac{C}{C_0}=0{,}06 (peguei da tabela).
    • Em t_2 = 15{,}01\\ \mathrm{min}, \dfrac{C}{C_0}=0{,}22 (peguei da tabela).
    • Na tabela também existe o ponto exaustão aproximado \dfrac{C}{C_0}=0{,}95 em t=270{,}19\\ \mathrm{min} (peguei da tabela).
O que será calculado:
(a) tempo de ruptura t_r para \dfrac{C}{C_0}=0{,}15;
(b) tempo útil t_u (aqui vou interpretar e justificar a definição no passo próprio);
(c) tempo total t_{total} (tempo de esgotamento do leito);
(d) altura não útil do leito H_N;
(e) altura útil H_u.

Passo 2

Cálculo do tempo de ruptura t_r por interpolação linear entre os pontos próximos da concentração alvo. Explico a fórmula e os termos:
Se dois pontos conhecidos são (t_1, C_1) e (t_2, C_2) e se quer o tempo t^* correspondente a uma concentração C^* entre C_1 e C_2, a interpolação linear é
t^* = t_1 + \frac{C^* - C_1}{C_2 - C_1}\,(t_2 - t_1).
Aqui t_1=10{,}32\\ \mathrm{min}, C_1=0{,}06; t_2=15{,}01\\ \mathrm{min}, C_2=0{,}22; e C^*=0{,}15 (o critério de ruptura). Substituindo:
t_r = 10{,}32 + \frac{0{,}15-0{,}06}{0{,}22-0{,}06}\,(15{,}01-10{,}32).
Faço a conta em passos:
\frac{0{,}15-0{,}06}{0{,}22-0{,}06}=\frac{0{,}09}{0{,}16}=0{,}5625,
t_2-t_1 = 15{,}01-10{,}32 = 4{,}69\\ \mathrm{min},
t_r = 10{,}32 + 0{,}5625\cdot 4{,}69 = 10{,}32 + 2{,}638125 = 12{,}958125\\ \mathrm{min}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
t_r \approx 12{,}96\\ \mathrm{min}.

Passo 3

Definição e obtenção do tempo total t_{total} (tempo de esgotamento). Em desenhos e exercícios de leito fixo costuma-se adotar como “esgotamento” um valor alto de \dfrac{C}{C_0}, tipicamente 0{,}95 (95% do valor de entrada). Vou adotar esse critério porque a tabela fornece um ponto claro em torno de 0{,}95 e isso é padrão em muitos problemas de projeto de leitos fixos.
Da tabela peguei diretamente o ponto:
\frac{C}{C_0}=0{,}95 \quad\text{em}\quad t=270{,}19\\ \mathrm{min}.
Portanto:
t_{total}=270{,}19\\ \mathrm{min}.

Passo 4

Definição e cálculo do tempo útil t_u. Como há terminologia variável em bibliografia, explico a interpretação adotada aqui: vou definir o “tempo útil” como o intervalo de tempo entre o instante de ruptura e o instante de esgotamento,
t_u = t_{total} - t_r.
Justificativa: essa escolha facilita a interpretação geométrica usada para definir alturas úteis e não úteis do leito (a fração do leito já saturada na ruptura e a fração que ainda pode ser usada até o esgotamento). Substituindo os valores:
t_u = 270{,}19 - 12{,}958125 = 257{,}231875\\ \mathrm{min}.
Arredondando:
t_u \approx 257{,}23\\ \mathrm{min}.

Passo 5

Cálculo das alturas útil e não útil do leito. Explicação física e fórmula:
Quando o escoamento e o avanço da “fronteira de saturação” no leito são aproximadamente uniformes, a posição da fronteira é proporcional ao tempo transcorrido: quando o tempo chega a t_{total} a fronteira atingiu o fundo do leito (altura H). Assim, na ruptura (tempo t_r) a fronteira atingiu uma altura proporcional a t_r/t_{total}. Há duas formas de interpretar “altura não útil” — aqui adoto a interpretação prática: “altura não útil” H_N é a parcela do leito que já está saturada na ruptura (ou seja, já não pode mais adsorver), e portanto corresponde à fração t_r/t_{total} da altura total. Dessa forma:
H_N = H\cdot\frac{t_r}{t_{total}}.
A altura ainda utilizável (altura útil) é o restante do leito:
H_u = H - H_N = H\left(1-\frac{t_r}{t_{total}}\right).
Agora os cálculos numéricos, usando H=24\\ \mathrm{cm}, t_r=12{,}958125\\ \mathrm{min} e t_{total}=270{,}19\\ \mathrm{min}:
H_N = 24\cdot\frac{12{,}958125}{270{,}19} \approx 24\cdot 0{,}047959 \approx 1{,}1510\\ \mathrm{cm},
arredondando:
H_N \approx 1{,}15\\ \mathrm{cm}.
E
H_u = 24 - 1{,}1510 \approx 22{,}8490\\ \mathrm{cm},
arredondando:
H_u \approx 22{,}85\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) t_r \approx 12{,}96\\ \mathrm{min}
(b) t_u \approx 257{,}23\\ \mathrm{min}
(c) t_{total} = 270{,}19\\ \mathrm{min}
(d) H_N \approx 1{,}15\\ \mathrm{cm}
(e) H_u \approx 22{,}85\\ \mathrm{cm}

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