O ferro muda de estrutura CCC para CFC a
. Próximo desta temperatura, os raios atômicos do ferro nas duas estruturas são respectivamente,
e
. Qual a porcentagem de variação volumétrica causada por esta transformação polimórfica ou alotrópica? Como você justifica a diferença de raios atômicos nas duas estruturas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
-
Dados fornecidos:
- Transformação: CCC (cúbica de corpo centrado)
CFC (cúbica de face centrada) a . - Raios atômicos próximos da transição: raio no CCC
e raio no CFC .
- Transformação: CCC (cúbica de corpo centrado)
-
Perguntas:
- Qual a porcentagem de variação volumétrica causada por essa transformação alotrópica?
- Como justificar a diferença dos raios atômicos nas duas estruturas?
Passo 2
Vamos explicar a ideia física e o método que vamos aplicar (passo a passo, sem pular etapas):
- Em sólidos cristalinos definimos o raio atômico metálico (aqui) como metade da distância entre vizinhos mais próximos, portanto o raio relaciona-se geometricamente com o parâmetro de rede
(aresta do cubo) de cada estrutura cristalina. - Calcularemos o volume “por átomo” em cada estrutura a partir do parâmetro de rede
e do número de átomos por célula unitária; depois compararemos os volumes por átomo e obtendo a variação percentual. - Fórmulas geométricas chave (serão derivadas no próximo passo):
- Para CCC (BCC): relação entre
e é . - Para CFC (FCC): relação entre
e é .
- Para CCC (BCC): relação entre
- Número de átomos por célula: CCC
2 átomos por célula; CFC 4 átomos por célula. - Volume por átomo =
.
Passo 3
Derivações geométricas das relações
versus
e expressão do volume por átomo.
-
CCC (BCC):
- Os átomos “se tocam” ao longo da diagonal do cubo (diagonal espacial, corpo). A diagonal do cubo tem comprimento
. - Ao longo dessa diagonal estão colocados 4 raios atômicos alinhados (um átomo de canto, metade do raio; átomo central, diâmetro; outro canto, metade), daí
. - Logo
- Volume da célula:
. - Átomos por célula: 2. Portanto volume por átomo:
- Os átomos “se tocam” ao longo da diagonal do cubo (diagonal espacial, corpo). A diagonal do cubo tem comprimento
-
CFC (FCC):
- Os átomos “se tocam” ao longo da diagonal da face. A diagonal da face tem comprimento
. - Ao longo desta diagonal estão 4 raios (dois átomos que se tocam na diagonal da face), daí
. - Logo
- Volume da célula:
. - Átomos por célula: 4. Portanto volume por átomo:
- Os átomos “se tocam” ao longo da diagonal da face. A diagonal da face tem comprimento
Essas expressões dão o volume efetivo ocupado por um átomo em cada estrutura em função do raio atômico efetivo
.
Passo 4
Substituição numérica passo a passo (usar
para volumes).
-
Primeiro calcule
para cada caso: -
Constantes numéricas:
-
Volume por átomo em CCC:
-
Volume por átomo em CFC:
Observação: apesar do raio aumentar ligeiramente de
para
, o volume por átomo diminui — vamos quantificar isso.
Passo 5
Cálculo da variação volumétrica percentual.
- Fórmula da variação percentual (usando CCC como estado inicial e CFC como final):
- Substituindo os valores:
Interpretação: há uma redução do volume por átomo de aproximadamente
quando o ferro muda de CCC para CFC.
Passo 6
Justificativa didática e física para a diferença dos raios atômicos nas duas estruturas (explicação passo a passo, sem jargões desnecessários):
- O “raio atômico em rede cristalina” usado aqui é um raio efetivo definido a partir da metade da distância entre vizinhos mais próximos; não é um raio fixo como em uma bolinha rígida, mas depende do arranjo cristalino e da distribuição eletrônica entre átomos.
- As duas estruturas têm geometrias e números de coordenação diferentes:
- CCC (BCC): número de coordenação
. - CFC (FCC): número de coordenação
.
- CCC (BCC): número de coordenação
- Mudar a coordenação muda o equilíbrio entre repulsão eletrônica (elétrons se repelem quando muito próximos) e atração metálica (ligações), portanto o equilíbrio de distâncias interatômicas muda. Assim o valor efetivo de
(meio da distância entre vizinhos) pode aumentar ou diminuir ao mudar a estrutura. - No caso dado:
- O raio efetivo aumenta ligeiramente (
) — isto significa que a distância entre vizinhos mais próximos ficou um pouco maior em CFC. - No entanto, a geometria da CFC tem mais átomos por célula e um empacotamento mais eficiente (empacotamento fracionário maior), de modo que o volume por átomo resulta ligeiramente menor apesar do aumento do raio de vizinhança. Ou seja, a forma do cubo, a localização dos vizinhos e o número de átomos por célula governam o volume por átomo, não apenas o valor numérico isolado de
.
- O raio efetivo aumenta ligeiramente (
- Conclusão física simples: o raio atômico é uma propriedade efetiva dependente do ambiente cristalino (coordenação e geometria). A mudança CCC
CFC altera esse ambiente (mais vizinhos, diferentes linhas de contato), produzindo a pequena mudança no raio e, por consequência geométrica combinada com o número de átomos por célula, a pequena variação volumétrica observada (~1,4%).
Resposta
A variação volumétrica é de aproximadamente
(redução de
no volume por átomo ao passar de CCC para CFC).
A diferença dos raios atômicos se justifica porque o raio atômico em rede é um valor efetivo definido pela metade da distância entre vizinhos mais próximos; mudar a estrutura altera a geometria e o número de coordenação (CCC: CN ; CFC: CN
), mudando o equilíbrio interatômico e assim o raio efetivo.
A diferença dos raios atômicos se justifica porque o raio atômico em rede é um valor efetivo definido pela metade da distância entre vizinhos mais próximos; mudar a estrutura altera a geometria e o número de coordenação (CCC: CN