Exercício 4: Um componente estrutural é fabricado a partir de uma liga que possui uma tenacidade à fratura em deformação plana de 62 MPa . Foi considerado que esse componente falha sob uma tensão de 250 MPa quando o comprimento máximo de uma trinca superficial é de 1,6 \mathrm{~mm}. Qual é o comprimento máximo permissível para uma trinca superficial (em mm ) sem a ocorrência de uma fratura para esse mesmo componente quando exposto a uma tensão de 250 MPa e quando o componente for feito a partir de outra liga com uma tenacidade à fratura em deformação plana de 51 MPa ?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Tenacidade à fratura (deformação plana) da liga original: K_{Ic,1}=62\\ \mathrm{MPa}\,\sqrt{\mathrm{m}}.
  • Tensão aplicada no componente (mesma nos dois casos): \sigma=250\\ \mathrm{MPa}.
  • Comprimento máximo de trinca superficial para a liga original: a_1=1{,}6\\ \mathrm{mm}.
  • Tenacidade à fratura da segunda liga: K_{Ic,2}=51\\ \mathrm{MPa}\,\sqrt{\mathrm{m}}.
  • Pergunta: Qual é o comprimento máximo permissível para uma trinca superficial a_2 (em mm) para a segunda liga, sob a mesma tensão \sigma=250\\ \mathrm{MPa}, sem ocorrer fratura?

Passo 2

Conceito e fórmula básica que vamos usar (explicadinha com calma).
A resistência à fratura de um corpo contendo uma trinca é descrita pela condição
K_{Ic}=Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a},
onde:
  • K_{Ic} é a tenacidade à fratura (unidade usual \mathrm{MPa}\,\sqrt{\mathrm{m}});
  • Y é um fator geométrico adimensional que depende da forma da trinca e da peça (por exemplo, trinca de superfície, trinca central, etc.);
  • \sigma é a tensão aplicada ( \mathrm{MPa});
  • a é o comprimento efetivo da trinca em metros ( \mathrm{m});
  • \pi é o número pi.
Essa fórmula diz: fratura ocorre se o fator de intensidade de tensão K_I (igual a Y\sigma\sqrt{\pi a}) atingir a tenacidade K_{Ic}. Então, para evitar fratura, devemos ter Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a}\le K_{Ic}.

Passo 3

Isolando a na fórmula para relação entre tenacidade e comprimento de trinca:
Partindo de
K_{Ic}=Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a},
passos algébricos:
\sqrt{a}=\frac{K_{Ic}}{Y\,\sigma\,\sqrt{\pi}},
logo
a=\left(\frac{K_{Ic}}{Y\,\sigma\,\sqrt{\pi}}\right)^{2}.
Aqui é importante observar: para o mesmo tipo de trinca e a mesma peça (mesma geometria) o fator Y é o mesmo nos dois casos, e a tensão \sigma também é a mesma. Portanto, ao comparar dois materiais sob as mesmas condições geométricas e de carregamento, Y e \sigma cancelam quando fazemos a razão entre os comprimentos máximos. Assim obtemos uma relação simples entre a e K_{Ic}:
\frac{a_2}{a_1}=\left(\frac{K_{Ic,2}}{K_{Ic,1}}\right)^{2}.
Essa simplificação é muito útil na prova: em problemas desse tipo, quando só muda a tenacidade do material, basta escalar o comprimento da trinca pelo quadrado da razão das tenacidades.

Passo 4

Aplicando a relação obtida com os valores dados. Primeiro, converter a_1 para unidades compatíveis se for necessário; aqui vamos trabalhar na prática diretamente em mm porque a razão cancela unidades lineares, mas para clareza converterei para metros no cálculo intermediário e depois volto para mm.
Conversão:
a_1 = 1{,}6\\ \mathrm{mm} = 1{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Relação:
a_2 = a_1\left(\frac{K_{Ic,2}}{K_{Ic,1}}\right)^{2}.
Substituindo números (manter as unidades de K_{Ic} iguais, o que é o caso):
a_2 = 1{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\;\left(\frac{51}{62}\right)^{2}.
Calcule a fração ao quadrado. Como 51^{2}=2601 e 62^{2}=3844, temos
\left(\frac{51}{62}\right)^{2}=\frac{2601}{3844}\approx0{,}676642\ldots
Então
a_2 \approx 1{,}6\times10^{-3}\times0{,}676642\ldots\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Fazendo a multiplicação numérica:
a_2 \approx 1{,}082628\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
a_2 \approx 1{,}082628\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (suficiente para engenharia e para prova):
a_2 \approx 1{,}08\\ \mathrm{mm}.

Resposta

1{,}08 mm

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