20 gramas de vapor d’água a 120^{\circ} \mathrm{C} e 300 g de água líquida a 25^{\circ} \mathrm{C} são colocados juntos dentro de um recipiente adiabático. A pressão é mantida em 1 atm . Se: \mathrm{Cp}(\mathrm{H} 2 \mathrm{O},liquida) =4.18 \mathrm{J} / \mathrm{K} . \mathrm{g}, \mathrm{Cp}(\mathrm{H} 2 \mathrm{O}, vapor )=1.86 \mathrm{~J} / \mathrm{K} . \mathrm{g} \Delta \mathrm{Hvap}=2257 \mathrm{~J} / \mathrm{g}, a 100^{\circ} \mathrm{C},
a) Qual a temperatura final do sistema e qual (ou quais) fase encontra-se presente? T = 336,99 \mathrm{k} ou 64^{\circ} \mathrm{C}
b) Calcule \Delta \mathrm{S} dessa transformação. \Delta \mathrm{S}=154,229 \mathrm{~J} / \mathrm{K}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos estes números do enunciado):
  • Massa de vapor: m_v = 20\\ \mathrm{g} à temperatura 120^\circ\mathrm{C}.
  • Massa de água líquida: m_\ell = 300\\ \mathrm{g} à temperatura 25^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão mantida em 1\\ \mathrm{atm} (isso implica que a temperatura de ebulição/condensação é 100^\circ\mathrm{C}).
  • Calores específicos (valores por grama):
    • C_{p,\ell} = 4{,}18\\ \mathrm{J/(K\cdot g)} (água líquida).
    • C_{p,v} = 1{,}86\\ \mathrm{J/(K\cdot g)} (vapor).
  • Calor latente de vaporização (à 100^\circ\mathrm{C}):
    • \Delta H_{\text{vap}} = 2257\\ \mathrm{J/g}.
  • Sistema adiabático (não troca calor com o exterior) — portanto, a energia interna total se conserva.
O enunciado pede:
a) Temperatura final do sistema e quais fases estão presentes no equilíbrio final.
b) A variação de entropia \Delta S dessa transformação (do sistema total).

Passo 2

Planejamento do método (sem resolver ainda): como a pressão é 1\\ \mathrm{atm} há uma temperatura de mudança de fase bem definida em 100^\circ\mathrm{C}. Os casos possíveis para a temperatura final T_f são:
  • Caso A: T_f<100^\circ\mathrm{C}. Nesse caso todo o vapor inicial terá condensado e teremos apenas água líquida a T_f.
  • Caso B: T_f=100^\circ\mathrm{C}. Pode ficar uma mistura líquido-vapor em equilíbrio.
  • Caso C: T_f>100^\circ\mathrm{C}. Nesse caso parte (ou toda) da água líquida poderia vaporizar.
Escolho testar primeiro o Caso A (suposição simples: todo o vapor condensa e o calor liberado aquece a água fria). Se a solução desse caso der T_f<100^\circ\mathrm{C}, a suposição é consistente e é a solução real. Se der T_f\ge100^\circ\mathrm{C}, preciso reavaliar (ir para Caso B ou C). Esse é o método mais direto aqui.

Passo 3

Escrever a equação de balanço de energia para o Caso A (todo vapor condensa e no equilíbrio final só há água líquida a T_f<100^\circ\mathrm{C}).
Calores liberados pelo vapor (que acaba condensando e se resfriando):
  1. Resfriamento do vapor de 120^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}:
Q_1 = m_v\, C_{p,v}\, (120 - 100).
  1. Condensação à 100^\circ\mathrm{C} (libera calor latente):
Q_2 = m_v\, \Delta H_{\text{vap}}.
  1. Resfriamento da água resultante da condensação de 100^\circ\mathrm{C} até T_f:
Q_3 = m_v\, C_{p,\ell}\, (100 - T_f).
Calor absorvido pela água inicialmente líquida (esquentando de 25^\circ\mathrm{C} até T_f):
Q_4 = m_\ell\, C_{p,\ell}\, (T_f - 25).
Conservação de energia (adiabático, calor liberado = calor absorvido):
Q_1 + Q_2 + Q_3 = Q_4.
Agora substituímos os números (tudo em unidades consistentes: gramas, J, graus Celsius/K — aqui diferenças de temperatura em °C = K são equivalentes):
m_v = 20,\quad m_\ell = 300,\quad C_{p,v}=1{,}86,\quad C_{p,\ell}=4{,}18,\quad \Delta H_{\text{vap}}=2257.
Escrevendo a equação com os valores:
20\cdot 1{,}86\cdot(120-100) \;+\; 20\cdot 2257 \;+\; 20\cdot 4{,}18\cdot(100-T_f) = 300\cdot 4{,}18\cdot (T_f-25).

Passo 4

Resolver a equação para T_f. Primeiro calcular os termos numéricos:
  1. 20\cdot 1{,}86\cdot 20 = 20\cdot 37{,}2 = 744\\ \mathrm{J}.
  2. 20\cdot 2257 = 45\,140\\ \mathrm{J}.
  3. 20\cdot 4{,}18 = 83{,}6 (coeficiente que multiplica (100-T_f)).
  4. 300\cdot 4{,}18 = 1\,254 (coeficiente que multiplica (T_f-25)).
Substituindo:
744 + 45\,140 + 83{,}6(100 - T_f) = 1\,254(T_f - 25).
Simplificar:
45\,884 + 8\,360 - 83{,}6\,T_f = 1\,254\,T_f - 31\,350.
54\,244 - 83{,}6\,T_f = 1\,254\,T_f - 31\,350.
Rearranjando:
54\,244 + 31\,350 = 1\,254\,T_f + 83{,}6\,T_f.
85\,594 = 1\,337{,}6\,T_f.
Logo
T_f = \frac{85\,594}{1\,337{,}6} \approx 63{,}99^\circ\mathrm{C}.
Convertendo para kelvin: T_f \approx 63{,}99 + 273{,}15 = 337{,}14\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Verificação da suposição: a solução encontrada T_f \approx 63{,}99^\circ\mathrm{C} é menor que 100^\circ\mathrm{C}. Logo a suposição do Caso A (todo o vapor inicial condensou) é consistente. Portanto, no equilíbrio final há apenas água líquida à temperatura aproximada 63{,}99^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Agora calcular a variação de entropia total \Delta S do sistema. Vou decompor a transformação em partes reversíveis entre os mesmos estados (para poder usar \Delta S=\int \delta Q_\text{rev}/T) e somar as contribuições de cada porção de massa.
Contribuições (cada contrib. corresponde a mudança de entropia do material indicado):
  1. Vapor: resfriamento reversível de 120^\circ\mathrm{C} ( 393{,}15\\ \mathrm{K}) para 100^\circ\mathrm{C} ( 373{,}15\\ \mathrm{K}):
\Delta S_1 = m_v\, C_{p,v}\, \ln\!\left(\frac{373{,}15}{393{,}15}\right).
  1. Condensação do vapor à 100^\circ\mathrm{C} ( 373{,}15\\ \mathrm{K}): essa transformação libera calor \Delta H_{\text{vap}} por grama; a mudança de entropia do vapor ao condensar é
\Delta S_2 = -\,\frac{m_v\,\Delta H_{\text{vap}}}{373{,}15}.
(O sinal negativo porque a fase vapor perde entropia ao tornar-se líquida e o calor sai do vapor.)
3. Água formada na condensação: resfriamento reversível de 100^\circ\mathrm{C} para T_f:
\Delta S_3 = m_v\, C_{p,\ell}\, \ln\!\left(\frac{T_f}{373{,}15}\right).
  1. Água líquida originalmente fria: aquecimento reversível de 25^\circ\mathrm{C} ( 298{,}15\\ \mathrm{K}) até T_f:
\Delta S_4 = m_\ell\, C_{p,\ell}\, \ln\!\left(\frac{T_f}{298{,}15}\right).
A variação total de entropia do sistema é
\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 + \Delta S_3 + \Delta S_4.

Passo 7

Calcular numericamente cada termo usando T_f = 337{,}14\\ \mathrm{K} (que corresponde a 63{,}99^\circ\mathrm{C}).
  1. \displaystyle \Delta S_1 = 20\cdot 1{,}86\cdot \ln\!\left(\frac{373{,}15}{393{,}15}\right).
\Delta S_1 \approx 37{,}2\cdot \ln(0{,}94912)\approx 37{,}2\cdot (-0{,}0522)\approx -1{,}94\\ \mathrm{J/K}.
  1. \displaystyle \Delta S_2 = -\frac{20\cdot 2257}{373{,}15}.
\Delta S_2 \approx -\frac{45\,140}{373{,}15}\approx -120{,}97\\ \mathrm{J/K}.
  1. \displaystyle \Delta S_3 = 20\cdot 4{,}18\cdot \ln\!\left(\frac{337{,}14}{373{,}15}\right).
\Delta S_3 \approx 83{,}6\cdot \ln(0{,}9035)\approx 83{,}6\cdot (-0{,}1015)\approx -8{,}49\\ \mathrm{J/K}.
  1. \displaystyle \Delta S_4 = 300\cdot 4{,}18\cdot \ln\!\left(\frac{337{,}14}{298{,}15}\right).
\Delta S_4 \approx 1\,254\cdot \ln(1{,}1311)\approx 1\,254\cdot 0{,}1232\approx 154{,}43\\ \mathrm{J/K}.
Somando:
\Delta S \approx (-1{,}94) + (-120{,}97) + (-8{,}49) + 154{,}43 \approx 23{,}03\\ \mathrm{J/K}.
(Arredondando razoavelmente, \Delta S \approx 23{,}05\\ \mathrm{J/K}.)
Observação física: \Delta S>0 conforme esperado para um processo espontâneo irreversível de mistura/condensação interna; o sistema adiabático teve aumento de entropia interna.

Resposta

Temperatura final: T_f \approx 63{,}99^\circ\mathrm{C} (ou T_f \approx 337{,}14\\ \mathrm{K}). Fase presente: somente água líquida (todo o vapor condensou).
\Delta S \approx 23{,}05\\ \mathrm{J/K}

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