(FGV) Aconteceu um acidente: a chuva molhou o papel onde Teodoro marcou o telefone de Aninha e apagou os três últimos algarismos. Restaram apenas os dígitos 58347. Observador, Teodoro lembrou que o número do telefone da linda garota era um número par, não divisível por 5 e que não havia algarismos repetidos. Apaixonado, resolveu testar todas as combinações numéricas possíveis. Azarado! Restava apenas uma possibilidade, quando se esgotaram os créditos do seu telefone celular. Até então, Teodoro havia feito:
a) 23 ligações
b) 59 ligações
c) 39 ligações
d) 35 ligações
e) 29 ligações

Passo 1

O enunciado nos dá que restaram os dígitos 5,8,3,4,7 (ou seja, os dígitos 58347 apareceram no papel — estou pegando esses dígitos do próprio enunciado). As condições adicionais são: o número completo era par, não era divisível por 5 e não havia algarismos repetidos em todo o número. A pergunta implícita: quantas ligações Teodoro já havia feito, sabendo que, quando os créditos acabaram, restava apenas uma possibilidade dentre todas as combinações possíveis dos três últimos algarismos apagados?

Passo 2

Entendendo as regras de divisibilidade relevantes (aula rápida):
  • Um número é par se, e somente se, o seu último dígito for um dos pares 0,2,4,6,8. Então a paridade do telefone depende só do último dígito.
  • Um número é divisível por 5 se, e somente se, o seu último dígito for 0 ou 5. Como o telefone não é divisível por 5, o último dígito não pode ser 0 nem 5.
    Essas duas observações juntas nos dizem que o último dígito deve ser par e não pode ser 0 nem 5.

Passo 3

Aplicando as condições ao conjunto de dígitos já visíveis \{5,8,3,4,7\}:
  • Dígitos pares possíveis em geral: \{0,2,4,6,8\}.
  • Excluímos 0 porque é proibido (divisível por 5) e excluímos quaisquer dígitos já usados em \{5,8,3,4,7\} para evitar repetição.
  • Dos pares, 4 e 8 já aparecem em \{5,8,3,4,7\}, então ficam como candidatos para o último dígito apenas \{2,6\}.
    Portanto, o último dígito tem exatamente 2 opções: 2 ou 6.

Passo 4

Agora, para contar as combinações dos três últimos dígitos, procedemos condicionando no último dígito escolhido. Fixado um último dígito (por exemplo 2), os outros dois dígitos (o das centenas e o das dezenas dos três últimos) devem ser escolhidos entre os dígitos 0 a 9 excluindo os 5 dígitos já visíveis \{5,8,3,4,7\} e também excluindo o dígito escolhido como último (a fim de não repetir). Isso deixa
10 - 6 = 4
dígitos disponíveis para preencher as duas posições restantes. Obs.: o dígito 0 é permitido nessas posições (não há problema em ter zero nessas posições intermediárias).

Passo 5

Contagem das duas posições (ordem importa porque, por exemplo, 12 e 21 são finais diferentes):
  • Para o primeiro entre esses dois dígitos disponíveis há 4 escolhas.
  • Depois de escolher esse, para o segundo há 3 escolhas (sem repetição).
    Logo, para um último dígito fixo o número de maneiras de escolher os outros dois é
4 \times 3 = 12.
Isto é uma permutação de 4 elementos tomados 2 a 2.

Passo 6

Como há 2 escolhas possíveis para o último dígito ( 2 ou 6), o total de terminações possíveis dos três últimos algarismos é
2 \times 12 = 24.

Passo 7

O enunciado diz que, quando os créditos acabaram, restava apenas uma possibilidade entre as combinações. Ou seja, Teodoro já havia testado todas as combinações exceto uma. Portanto, o número de ligações que ele havia feito até então é igual ao número total de possibilidades menos uma, isto é,
24 - 1.

Resposta

a) 23 ligações

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