(ENEM) Como não são adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir o maior número de pontos. Observaram que o número de partidas jogadas depende do número de jogadores, como mostra o quadro:
Quantidade de
jogadores
2
3
4
5
6
7
Número de
partidas
1
3
6
10
15
21
Se a quantidade de jogadores for 8 , quantas partidas serão realizadas?
a) 64
b) 56
c) 49
d) 36
e) 28
|
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ||
|
1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 |
a) 64
b) 56
c) 49
d) 36
e) 28
Passo 1
O enunciado pergunta: se a quantidade de jogadores for
, quantas partidas serão realizadas?
Informações dadas (retirei da tabela do enunciado):
Informações dadas (retirei da tabela do enunciado):
- Para
jogadores: partida. - Para
jogadores: partidas. - Para
jogadores: partidas. - Para
jogadores: partidas. - Para
jogadores: partidas. - Para
jogadores: partidas.
Também é dito que cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores (ou seja, cada par de jogadores joga exatamente uma partida).
Passo 2
Observando a sequência de números de partidas
vemos um padrão: as diferenças sucessivas são
. Isto indica que o número de partidas para
jogadores é a soma dos inteiros de
até
. Em palavras: o primeiro jogador tem
adversários, o segundo já jogou contra o primeiro então tem
novas partidas, e assim por diante, somando
.
Passo 3
Agora vou ensinar uma fórmula útil: a soma dos inteiros de
até
. Definimos
Se escrevermos a soma ao contrário,
Somando as duas expressões termo a termo obtemos
, com exatamente
parcelas iguais a
. Logo
Isso significa que
Passo 4
No nosso problema tomamos
(porque somamos até
). Portanto o número de partidas
com
jogadores é
Uma explicação alternativa (combinatória) que vale a pena guardar: o número de partidas é o número de pares distintos de jogadores, isto é a quantidade de maneiras de escolher 2 jogadores entre
, que é o coeficiente binomial
mesma fórmula.
Passo 5
Aplicando a fórmula para
:
Fazendo as contas passo a passo:
Portanto, com
jogadores serão realizadas
partidas. Isso corresponde à alternativa
. Força aí — decorar a fórmula
salva tempo na prova!
Resposta
e) 28