(ENEM) Como não são adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir o maior número de pontos. Observaram que o número de partidas jogadas depende do número de jogadores, como mostra o quadro:
Quantidade de
jogadores
2 3 4 5 6 7
Número de
partidas
1 3 6 10 15 21
Se a quantidade de jogadores for 8 , quantas partidas serão realizadas?
a) 64
b) 56
c) 49
d) 36
e) 28

Passo 1

O enunciado pergunta: se a quantidade de jogadores for \,8, quantas partidas serão realizadas?
Informações dadas (retirei da tabela do enunciado):
  • Para \,2 jogadores: \,1 partida.
  • Para \,3 jogadores: \,3 partidas.
  • Para \,4 jogadores: \,6 partidas.
  • Para \,5 jogadores: \,10 partidas.
  • Para \,6 jogadores: \,15 partidas.
  • Para \,7 jogadores: \,21 partidas.
    Também é dito que cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores (ou seja, cada par de jogadores joga exatamente uma partida).

Passo 2

Observando a sequência de números de partidas \,1,3,6,10,15,21 vemos um padrão: as diferenças sucessivas são \,2,3,4,5,6. Isto indica que o número de partidas para \,n jogadores é a soma dos inteiros de \,1 até \,n-1. Em palavras: o primeiro jogador tem (n-1) adversários, o segundo já jogou contra o primeiro então tem (n-2) novas partidas, e assim por diante, somando 1+2+3+\dots+(n-1).

Passo 3

Agora vou ensinar uma fórmula útil: a soma dos inteiros de 1 até m. Definimos
S = 1 + 2 + 3 + \dots + m.
Se escrevermos a soma ao contrário,
S = m + (m-1) + (m-2) + \dots + 1.
Somando as duas expressões termo a termo obtemos 2S = (m+1) + (m+1) + \dots + (m+1), com exatamente m parcelas iguais a (m+1). Logo
2S = m(m+1) \quad\Rightarrow\quad S = \frac{m(m+1)}{2}.
Isso significa que
1+2+\dots+m = \frac{m(m+1)}{2}.

Passo 4

No nosso problema tomamos m=n-1 (porque somamos até n-1). Portanto o número de partidas P(n) com n jogadores é
P(n)=1+2+\dots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}.
Uma explicação alternativa (combinatória) que vale a pena guardar: o número de partidas é o número de pares distintos de jogadores, isto é a quantidade de maneiras de escolher 2 jogadores entre n, que é o coeficiente binomial
\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2},
mesma fórmula.

Passo 5

Aplicando a fórmula para \,n=8:
P(8)=\frac{8\cdot(8-1)}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}.
Fazendo as contas passo a passo:
8\cdot 7=56,
\frac{56}{2}=28.
Portanto, com \,8 jogadores serão realizadas \,28 partidas. Isso corresponde à alternativa \,e). Força aí — decorar a fórmula \,n(n-1)/2 salva tempo na prova!

Resposta

e) 28

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