(MACK) Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O número possível de comissões é:
a) 66
b) 72
c) 90
d) 120
e) 124
a) 66
b) 72
c) 90
d) 120
e) 124
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Há
diretores no total. - Desses,
são suspeitos de corrupção e não são suspeitos. - Será formada uma comissão com
diretores. - Condição: os suspeitos não podem ser maioria na comissão.
A pergunta é: qual o número possível de comissões de
diretores que satisfazem a condição acima?
Passo 2
Entender exatamente a condição “os suspeitos não sejam maioria”: numa comissão de
pessoas, maioria significa mais da metade. A metade de
é
, então ser maioria significa ter
ou mais suspeitos. Portanto, a condição “não sejam maioria” equivale a permitir que o número de suspeitos na comissão seja
,
ou
.
Agora verificamos a viabilidade de cada caso considerando que só há
não suspeitos:
- Se houver
suspeitos, precisaríamos escolher não suspeitos, mas só existem não suspeitos — impossível. - Logo os únicos casos possíveis são exatamente
suspeito ou exatamente suspeitos.
Passo 3
Método de contagem: para um número fixo
de suspeitos na comissão, contamos quantas comissões têm exatamente
suspeitos escolhendo
entre os
suspeitos e escolhendo os restantes
entre os
não suspeitos. O número de maneiras é o produto desses dois números de escolha.
A contagem de escolhas é feita com combinações. A definição de combinação é:
onde
(fatorial de
) é o produto
. Essa fórmula dá o número de subconjuntos de tamanho
escolhidos dentre
elementos, sem ordem.
Passo 4
Calculemos caso a caso.
Caso
suspeito (
):
- Escolher
suspeito entre : . - Escolher
não suspeitos entre : .
Calculamos:
Número de comissões com exatamente
suspeito:
Passo 5
Caso
suspeitos (
):
- Escolher
suspeitos entre : . - Escolher
não suspeitos entre : .
Calculamos de forma simplificada sem usar calculadora:
Número de comissões com exatamente
suspeitos:
Passo 6
Somamos os casos possíveis (
suspeito e
suspeitos):
Portanto existem
comissões possíveis que atendem à condição (suspeitos não são maioria).
Resposta
a)