(MACK) Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O número possível de comissões é:
a) 66
b) 72
c) 90
d) 120
e) 124

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • 10 diretores no total.
  • Desses, 6 são suspeitos de corrupção e 4 não são suspeitos.
  • Será formada uma comissão com 5 diretores.
  • Condição: os suspeitos não podem ser maioria na comissão.
A pergunta é: qual o número possível de comissões de 5 diretores que satisfazem a condição acima?

Passo 2

Entender exatamente a condição “os suspeitos não sejam maioria”: numa comissão de 5 pessoas, maioria significa mais da metade. A metade de 5 é 2{,}5, então ser maioria significa ter 3 ou mais suspeitos. Portanto, a condição “não sejam maioria” equivale a permitir que o número de suspeitos na comissão seja 0, 1 ou 2.
Agora verificamos a viabilidade de cada caso considerando que só há 4 não suspeitos:
  • Se houver 0 suspeitos, precisaríamos escolher 5 não suspeitos, mas só existem 4 não suspeitos — impossível.
  • Logo os únicos casos possíveis são exatamente 1 suspeito ou exatamente 2 suspeitos.

Passo 3

Método de contagem: para um número fixo k de suspeitos na comissão, contamos quantas comissões têm exatamente k suspeitos escolhendo k entre os 6 suspeitos e escolhendo os restantes 5-k entre os 4 não suspeitos. O número de maneiras é o produto desses dois números de escolha.
A contagem de escolhas é feita com combinações. A definição de combinação é:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é o produto 1\cdot2\cdot3\cdots n. Essa fórmula dá o número de subconjuntos de tamanho k escolhidos dentre n elementos, sem ordem.

Passo 4

Calculemos caso a caso.
Caso 1 suspeito ( k=1):
  • Escolher 1 suspeito entre 6: \displaystyle \binom{6}{1}.
  • Escolher 4 não suspeitos entre 4: \displaystyle \binom{4}{4}.
    Calculamos:
\binom{6}{1}=\frac{6!}{1!\,5!}=6, \qquad \binom{4}{4}=1.
Número de comissões com exatamente 1 suspeito:
6\cdot1=6.

Passo 5

Caso 2 suspeitos ( k=2):
  • Escolher 2 suspeitos entre 6: \displaystyle \binom{6}{2}.
  • Escolher 3 não suspeitos entre 4: \displaystyle \binom{4}{3}.
    Calculamos de forma simplificada sem usar calculadora:
\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}=15, \qquad \binom{4}{3}=\frac{4\cdot3\cdot2}{3\cdot2\cdot1}=4.
Número de comissões com exatamente 2 suspeitos:
15\cdot4=60.

Passo 6

Somamos os casos possíveis ( 1 suspeito e 2 suspeitos):
6+60=66.
Portanto existem 66 comissões possíveis que atendem à condição (suspeitos não são maioria).

Resposta

a) 66

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