4- Determine as constantes n e k da isoterma de Freundlich, para a adsorção de um certo contaminante gasoso em carvão ativado. O volume usado nesse processo foi de 1 L , a concentração inicial do adsorbato em solução é de 3,37 mg/L, e a concentração em equilíbrio, obtida depois de 7 dias, é indicada na tabela a seguir, juntamente com a quantidade de adsorvente utilizada. Expresse x / m em m g / g.
Massa de adsorvente (g) Concentração em equilíbrio do adsorbato (mg/L)
0,001 3,27
0,010 2,77
0,100 1,86
0,500 1,33

Passo 1

O enunciado pede para determinar as constantes n e k da isoterma de Freundlich para a adsorção. Informações dadas e o que precisamos obter:
  • Volume usado: V=1\\ \mathrm{L}.
  • Concentração inicial do adsorbato: C_0=3,37\\ \mathrm{mg/L}.
  • Tabela (da própria questão) com massa de adsorvente m e concentração em equilíbrio C_e:
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Massa de adsorvente }(g) & \text{Concentração em equilíbrio }C_e\\ (\mathrm{mg/L})\\\ \hline 0{,}001 & 3{,}27 \\\ \hline 0{,}010 & 2{,}77 \\\ \hline 0{,}100 & 1{,}86 \\\ \hline 0{,}500 & 1{,}33 \\\ \hline \end{array}
  • Precisamos expressar \dfrac{x}{m} em \mathrm{mg/g} e ajustar os dados à isoterma de Freundlich para obter n e k.

Passo 2

Explicação do que é \dfrac{x}{m} e como calculá-la a partir dos dados: \dfrac{x}{m} é a quantidade de adsorbato adsorvida por massa de adsorvente (unidade \mathrm{mg/g}). Como o volume é V e as concentrações inicial e de equilíbrio são C_0 e C_e (em \mathrm{mg/L}), a massa de adsorbato removida do líquido é (C_0-C_e)\cdot V em mg. Dividindo pela massa do adsorvente m (em g) obtemos:
\frac{x}{m}=\frac{(C_0-C_e)\,V}{m}.
Aqui: C_0 e C_e em \mathrm{mg/L}, V em L, m em g → \dfrac{x}{m} em \mathrm{mg/g}. Como V=1\\ \mathrm{L}, simplifica para \dfrac{x}{m}=\dfrac{C_0-C_e}{m}.

Passo 3

Calculo de \dfrac{x}{m} para cada linha da tabela (uso direto de \dfrac{C_0-C_e}{m}):
  • Para m=0{,}001\\ \mathrm{g}, C_e=3{,}27:
\frac{x}{m}=\frac{3{,}37-3{,}27}{0{,}001}=\frac{0{,}10}{0{,}001}=100\\ \mathrm{mg/g}.
  • Para m=0{,}010\\ \mathrm{g}, C_e=2{,}77:
\frac{x}{m}=\frac{3{,}37-2{,}77}{0{,}010}=\frac{0{,}60}{0{,}010}=60\\ \mathrm{mg/g}.
  • Para m=0{,}100\\ \mathrm{g}, C_e=1{,}86:
\frac{x}{m}=\frac{3{,}37-1{,}86}{0{,}100}=\frac{1{,}51}{0{,}100}=15{,}1\\ \mathrm{mg/g}.
  • Para m=0{,}500\\ \mathrm{g}, C_e=1{,}33:
\frac{x}{m}=\frac{3{,}37-1{,}33}{0{,}500}=\frac{2{,}04}{0{,}500}=4{,}08\\ \mathrm{mg/g}.
Resumo calculado (usei os números da tabela do enunciado para C_e):
\begin{array}{c|c} C_e\\ (\mathrm{mg/L}) & \dfrac{x}{m}\\ (\mathrm{mg/g})\\hline 3{,}27 & 100\\\\ 2{,}77 & 60\\\\ 1{,}86 & 15{,}1\\\\ 1{,}33 & 4{,}08 \end{array}

Passo 4

Modelo de Freundlich e linearização (a ideia para ajustar os dados): a isoterma de Freundlich é dada por
\frac{x}{m}=k\,C_e^{1/n},
onde:
  • \dfrac{x}{m} é a carga adsorvida ( \mathrm{mg/g});
  • C_e é a concentração em equilíbrio ( \mathrm{mg/L});
  • k e n são constantes da isoterma ( k>0, n>0 geralmente).
Para linearizar e obter k e n fazemos logaritmo (aqui uso \log_{10}):
\log_{10}\!\left(\frac{x}{m}\right)=\log_{10} k + \frac{1}{n}\,\log_{10} C_e.
Isto é uma reta y=a+ b x com y=\log_{10}(x/m), x=\log_{10}C_e, b=\dfrac{1}{n} e a=\log_{10}k. Então ajustamos uma reta aos pontos (\log_{10}C_e,\\ \log_{10}(x/m)) e extraímos b e a.

Passo 5

Cálculo de \log_{10}C_e e \log_{10}(x/m) (base 10). Valores aproximados (mostro como calculei):
  • Para C_e=3{,}27: \log_{10}3{,}27\approx0{,}5145. \log_{10}100=2{,}0000.
  • Para C_e=2{,}77: \log_{10}2{,}77\approx0{,}4425. \log_{10}60\approx1{,}77815.
  • Para C_e=1{,}86: \log_{10}1{,}86\approx0{,}2695. \log_{10}15{,}1\approx1{,}17898.
  • Para C_e=1{,}33: \log_{10}1{,}33\approx0{,}1239. \log_{10}4{,}08\approx0{,}61066.
Tabela de pontos (aproximados):
\begin{array}{c|c|c} C_e & \log_{10}C_e & \log_{10}\!\left(\frac{x}{m}\right)\\hline 3{,}27 & 0{,}5145 & 2{,}00000\\\\ 2{,}77 & 0{,}4425 & 1{,}77815\\\\ 1{,}86 & 0{,}2695 & 1{,}17898\\\\ 1{,}33 & 0{,}1239 & 0{,}61066 \end{array}

Passo 6

Ajuste linear por mínimos quadrados (fórmulas e soma dos termos):
Para N pontos, a inclinação b e intercepto a são dados por
b=\frac{N\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{N\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}, \qquad a=\frac{\sum y_i - b\sum x_i}{N},
onde x_i=\log_{10}C_{e,i} e y_i=\log_{10}(x/m)_i. Para nossos quatro pontos calculei:
\begin{aligned} N&=4,\\\ \sum x_i &\approx 1{,}3504,\\\ \sum y_i &\approx 5{,}56779,\\\ \sum x_i y_i &\approx 2{,}2091651,\\\ \sum x_i^2 &\approx 0{,}54847771. \end{aligned}
Substituindo:
\text{numerador}=4\cdot 2{,}2091651 - 1{,}3504\cdot 5{,}56779 \approx 8{,}8366604 - 7{,}5187436 = 1{,}3179168,
\text{denominador}=4\cdot 0{,}54847771 - (1{,}3504)^2 \approx 2{,}19391084 - 1{,}82358016 = 0{,}37033068.
Logo a inclinação
b=\frac{1{,}3179168}{0{,}37033068}\approx 3{,}558.
Lembre que b=\dfrac{1}{n}, portanto
\frac{1}{n}\approx 3{,}558 \quad\Rightarrow\quad n\approx\frac{1}{3{,}558}\approx 0{,}281.

Passo 7

Cálculo do intercepto e da constante k:
a=\log_{10}k=\frac{\sum y_i - b\sum x_i}{N}=\frac{5{,}56779 - 3{,}558\cdot 1{,}3504}{4}\approx 0{,}19077.
Então
k=10^{a}=10^{0{,}19077}\approx 1{,}55.
Unidades de k: para consistência, \dfrac{x}{m} em \mathrm{mg/g} e C_e em \mathrm{mg/L}, a unidade prática de k fica tal que k\,C_e^{1/n} resulta em \mathrm{mg/g}; frequentemente deixamos k em (\mathrm{mg/g})(\mathrm{L/mg})^{1/n}.

Passo 8

Verificação rápida (opcional para a prova): com n\approx0{,}281 e k\approx1{,}55, a previsão para um ponto, por exemplo C_e=1{,}86, é
\frac{x}{m}\approx 1{,}55\cdot(1{,}86)^{1/0{,}281}=1{,}55\cdot(1{,}86)^{3{,}558}\approx 15{,}1,
que bate com o valor experimental 15{,}1\\ \mathrm{mg/g} (isso confirma que o ajuste está consistente).

Resposta

n=0{,}281
k=1{,}55

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