(FGV-SP) Seja
uma função
tal que
e
. Nessas condições, f(101) é igual a
a) 49 .
b) 50 .
c) 51 .
d) 52 .
a) 49 .
b) 50 .
c) 51 .
d) 52 .
Passo 1
O enunciado dá uma função
definida pela recorrência
e pela condição inicial
. A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a relação de recorrência. Fazer divisão por
em cada termo do numerador dá
Então a recorrência se reduz a uma forma bem simples: cada termo é o anterior somado de
.
Passo 3
Vamos entender o que significa a igualdade
. Isso diz que a sequência
tem diferença constante entre termos consecutivos igual a
Uma sequência com diferença constante é uma progressão aritmética (PA). Para qualquer PA com primeiro termo
e razão
, o termo geral é
Explico por que: partindo de
e somando
repetidas vezes, para chegar ao
-ésimo termo somam-se
incrementos de
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da PA ao nosso caso, com
e
, obtemos o termo geral
Agora simplificamos essa expressão em forma de fração:
Passo 5
Substituindo
na fórmula encontrada, fica
Passo 6
Pequena verificação (para me deixar mais confiante): se
então
ou seja, a fórmula satisfaz a recorrência e a condição inicial, então está correta.
Resposta
d)