(FGV-SP) Seja f uma função \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{R} tal que f(n+1)=\frac{2 \cdot f(n)+1}{2} e f(1)=2. Nessas condições, f(101) é igual a
a) 49 .
b) 50 .
c) 51 .
d) 52 .

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\mathbb{N}^{*}\to\mathbb{R} definida pela recorrência
f(n+1)=\frac{2\cdot f(n)+1}{2}
e pela condição inicial f(1)=2. A pergunta é: calcular f(101).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a relação de recorrência. Fazer divisão por 2 em cada termo do numerador dá
f(n+1)=\frac{2\cdot f(n)+1}{2}=f(n)+\frac{1}{2}.
Então a recorrência se reduz a uma forma bem simples: cada termo é o anterior somado de \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Vamos entender o que significa a igualdade f(n+1)=f(n)+\tfrac{1}{2}. Isso diz que a sequência (f(n))_{n\ge1} tem diferença constante entre termos consecutivos igual a
d=\frac{1}{2}.
Uma sequência com diferença constante é uma progressão aritmética (PA). Para qualquer PA com primeiro termo a_1 e razão d, o termo geral é
a_n=a_1+(n-1)d.
Explico por que: partindo de a_1 e somando d repetidas vezes, para chegar ao n-ésimo termo somam-se n-1 incrementos de d.

Passo 4

Aplicando a fórmula da PA ao nosso caso, com a_1=f(1)=2 e d=\tfrac{1}{2}, obtemos o termo geral
f(n)=2+(n-1)\cdot\frac{1}{2}.
Agora simplificamos essa expressão em forma de fração:
f(n)=2+\frac{n-1}{2}=\frac{4+n-1}{2}=\frac{n+3}{2}.

Passo 5

Substituindo n=101 na fórmula encontrada, fica
f(101)=\frac{101+3}{2}.

Passo 6

Pequena verificação (para me deixar mais confiante): se f(n)=\frac{n+3}{2} então
f(n+1)=\frac{(n+1)+3}{2}=\frac{n+4}{2}=\frac{n+3}{2}+\frac{1}{2}=f(n)+\frac{1}{2},
ou seja, a fórmula satisfaz a recorrência e a condição inicial, então está correta.

Resposta

d) 52

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