(FGV-SP) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função afim. Se f(1) \leqslant f(2), f(3) \geqslant f(4) e f(5)=5, então f(\pi) é
a) -1 .
b) um número irracional.
c) um racional não inteiro.
d) 0 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede f(\pi):
  • f é uma função afim f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
  • Há as desigualdades f(1)\leqslant f(2) e f(3)\geqslant f(4).
  • f(5)=5.
    O que se quer: determinar o valor de f(\pi).

Passo 2

Lembrando o que é uma função afim: uma função afim tem a forma
f(x)=ax+b,
onde a e b são números reais fixos. Aqui:
  • a é o coeficiente angular (mostra se a função sobe ou desce);
  • b é o termo constante (valor de f(0)).
    Vou usar essa forma para traduzir as informações dadas em equações/desigualdades envolvendo a e b.

Passo 3

Traduzindo f(1)\leqslant f(2) usando f(x)=ax+b:
f(1)=a\cdot1+b=a+b, \qquad f(2)=a\cdot2+b=2a+b.
A desigualdade fica
a+b \leqslant 2a+b.
Subtraindo b dos dois lados obtemos
a \leqslant 2a.
Subtraindo a dos dois lados:
0 \leqslant a,
ou seja,
a \geqslant 0.
Interpretação: a função não pode ser estritamente decrescente; a é não-negativo.

Passo 4

Agora traduzindo f(3)\geqslant f(4):
f(3)=3a+b, \qquad f(4)=4a+b.
A desigualdade é
3a+b \geqslant 4a+b.
Subtraindo b dos dois lados:
3a \geqslant 4a.
Subtraindo 4a dos dois lados:
- a \geqslant 0,
ou seja,
a \leqslant 0.
Interpretação: a função não pode ser estritamente crescente; a é não-positivo.

Passo 5

Juntando as duas conclusões obtemos
a \geqslant 0 \quad\text{e}\quad a \leqslant 0.
A única possibilidade é
a=0.
Conclusão: o coeficiente angular é 0, então f é uma função constante. Isso significa que para todo x vale
f(x)=b.

Passo 6

Usando a informação f(5)=5 e sabendo que f é constante:
f(5)=b=5.
Portanto a função é
f(x)=5\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 7

Finalmente, para qualquer x (em particular para x=\pi) temos
f(\pi)=5.
Comentário didático: a ideia central foi usar a forma afim f(x)=ax+b e traduzir desigualdades entre valores em desigualdades para a. Como uma mesma função não pode ser ao mesmo tempo estritamente crescente e estritamente decrescente, os sinais impostos levam a a=0, forçando constância.

Resposta

5

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