(FGV-SP) Seja
uma função afim. Se
e
, então
é
a) -1 .
b) um número irracional.
c) um racional não inteiro.
d) 0 .
a) -1 .
b) um número irracional.
c) um racional não inteiro.
d) 0 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede
:
-
é uma função afim . - Há as desigualdades
e . -
.
O que se quer: determinar o valor de.
Passo 2
Lembrando o que é uma função afim: uma função afim tem a forma
onde
e
são números reais fixos. Aqui:
-
é o coeficiente angular (mostra se a função sobe ou desce); -
é o termo constante (valor de ).
Vou usar essa forma para traduzir as informações dadas em equações/desigualdades envolvendoe .
Passo 3
Traduzindo
usando
:
A desigualdade fica
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Subtraindo
dos dois lados:
ou seja,
Interpretação: a função não pode ser estritamente decrescente;
é não-negativo.
Passo 4
Agora traduzindo
:
A desigualdade é
Subtraindo
dos dois lados:
Subtraindo
dos dois lados:
ou seja,
Interpretação: a função não pode ser estritamente crescente;
é não-positivo.
Passo 5
Juntando as duas conclusões obtemos
A única possibilidade é
Conclusão: o coeficiente angular é
, então
é uma função constante. Isso significa que para todo
vale
Passo 6
Usando a informação
e sabendo que
é constante:
Portanto a função é
Passo 7
Finalmente, para qualquer
(em particular para
) temos
Comentário didático: a ideia central foi usar a forma afim
e traduzir desigualdades entre valores em desigualdades para
. Como uma mesma função não pode ser ao mesmo tempo estritamente crescente e estritamente decrescente, os sinais impostos levam a
, forçando constância.