(UF-PE) Um estudante apresenta a resolução a seguir, composta de quatro equivalências:
I. \frac{x+2}{x+1}>2 \Leftrightarrow x+2>2(x+1)
II. x+2>2(x+1) \Leftrightarrow x+2>2 x+2
III. x+2>2 x+2 \Leftrightarrow-x>0
IV. -x>0 \Leftrightarrow x<0

Passo 1

O enunciado nos dá a cadeia de equivalências:
\text{I. }\frac{x+2}{x+1}>2 \Leftrightarrow x+2>2(x+1)
\text{II. }x+2>2(x+1) \Leftrightarrow x+2>2x+2
\text{III. }x+2>2x+2 \Leftrightarrow -x>0
\text{IV. }-x>0 \Leftrightarrow x<0
As perguntas que vamos responder (clarinho):
  • Verificar se cada uma dessas equivalências é correta (ou em que condições é correta).
  • Encontrar a solução correta da desigualdade original \frac{x+2}{x+1}>2.
Informações relevantes dadas:
  • A desigualdade inicial é \frac{x+2}{x+1}>2.
  • Há uma divisão por x+1, então naturalmente existe a restrição de domínio x\neq -1 (pois não se pode dividir por zero).

Passo 2

Primeira operação natural: passar tudo para um único membro (colocar em uma fração) — isso evita armadilhas ao multiplicar por expressões que podem mudar de sinal. Vou subtrair 2 de ambos os lados escrevendo em uma só fração:
\frac{x+2}{x+1}-2>0.
Agora, colocar numa fração comum:
\frac{x+2}{x+1}-2=\frac{x+2-2(x+1)}{x+1}.
Calcule o numerador passo a passo:
x+2-2(x+1)=x+2-2x-2 = -x.
Portanto a desigualdade é equivalente a
\frac{-x}{x+1}>0.
Observação importante (didática e prática de prova): nessa transformação não se multiplicou ambos os lados por x+1 sem considerar seu sinal — foi feita uma única fração, operação algébrica segura que preserva equivalência desde que se lembre de excluir x=-1 por domínio. Sempre lembrar: quando fizer multiplicação por uma expressão envolvendo a variável, é preciso considerar se é positiva ou negativa (ou fazer a transformação por fração como eu fiz).

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade racional
\frac{-x}{x+1}>0,
lembrando que x\neq -1.
Método de análise por sinais (muito útil em provas): encontramos zeros do numerador e pontos críticos (zeros do denominador) e fazemos um quadro de sinais. Aqui:
  • Numerador -x=0 quando x=0.
  • Denominador x+1=0 quando x=-1 (ponto excluído do domínio).
Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,0), (0,\infty). Em cada intervalo verificamos o sinal de \frac{-x}{x+1}.

Passo 4

Avaliação de sinais em cada intervalo (vou testar um ponto simples em cada intervalo):
  • Intervalo (-\infty,-1). Por exemplo, pegue x=-2.
    • Numerador: -x = -(-2) = 2>0.
    • Denominador: x+1 = -2+1 = -1<0.
    • Fração: positivo dividido por negativo é negativo. Então \frac{-x}{x+1}<0 nesse intervalo.
  • Intervalo (-1,0). Por exemplo, pegue x=-\tfrac12.
    • Numerador: -x = -(-\tfrac12)=\tfrac12>0.
    • Denominador: x+1 = -\tfrac12+1=\tfrac12>0.
    • Fração: positivo dividido por positivo é positivo. Então \frac{-x}{x+1}>0 nesse intervalo.
  • Intervalo (0,\infty). Por exemplo, pegue x=1.
    • Numerador: -x=-1<0.
    • Denominador: x+1=2>0.
    • Fração: negativo dividido por positivo é negativo. Então \frac{-x}{x+1}<0 nesse intervalo.
Conclusão do quadro de sinais: a desigualdade \frac{-x}{x+1}>0 é satisfeita apenas para x em (-1,0).

Passo 5

Verificação dos pontos extremos e domínio:
  • x=-1 está fora do domínio (denominador zero) — não pode ser incluído.
  • x=0 anula o numerador, produz \frac{0}{1}=0, mas a desigualdade é estrita >0, então x=0 não é solução.
    Portanto a solução final é
(-1,0).

Passo 6

Agora comento cada equivalência da resolução do estudante:
  • I. \displaystyle \frac{x+2}{x+1}>2 \Leftrightarrow x+2>2(x+1).
    • Essa equivalência foi obtida presumivelmente multiplicando ambos os lados por x+1. Esse passo NÃO é válida de forma geral sem considerar o sinal de x+1: ao multiplicar por uma expressão que pode ser negativa a desigualdade se inverte. Assim, a equivalência escrita é falsa no sentido geral (ela só seria correta se alguém adicionasse a condição x+1>0, isto é, x>-1). Então I está incorreta como equivalência geral porque omite a condição sobre o sinal de x+1.
  • II. x+2>2(x+1) \Leftrightarrow x+2>2x+2.
    • Aqui foi só executar a distributiva 2(x+1)=2x+2. Esse passo é correto (é apenas identidade algébrica).
  • III. x+2>2x+2 \Leftrightarrow -x>0.
    • Subtrair 2x+2 dos dois lados: x+2-(2x+2)=-x. Esse passo é correto.
  • IV. -x>0 \Leftrightarrow x<0.
    • Multiplicar ou dividir por -1 inverte a desigualdade: -x>0 é equivalente a x<0. Esse passo é correto.
Resumo: o erro do estudante está no passo I (esqueceu de considerar o sinal de x+1). Por isso, apesar de as etapas finais levarem a x<0, essa conclusão é mais ampla que a solução correta: o estudante inclui valeiros de x<-1 que não satisfazem a desigualdade original. A solução correta é (-1,0).

Passo 7

Dica prática para prova (amigo falando com amigo): quando aparecer \frac{A(x)}{B(x)}>C não é seguro multiplicar por B(x) sem testar o sinal de B(x). Boas estratégias:
  • Colocar tudo numa fração \frac{A(x)-C B(x)}{B(x)}>0 e fazer o esquema de sinais (como eu fiz).
  • Ou tratar separadamente os casos B(x)>0 e B(x)<0 ao multiplicar, lembrando de excluir B(x)=0.
Você mandou bem de trazer a cadeia: dá pra ver onde a armadilha está (passo I). Força aí que dá pra aprender isso rapidinho — na prova faça a fração e o quadro de sinais; é seguro e costuma ser rápido.

Resposta

(-1,0)

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