(UF-PE) Um estudante apresenta a resolução a seguir, composta de quatro equivalências:
I.
II.
III.
IV.
I.
II.
III.
IV.
Passo 1
O enunciado nos dá a cadeia de equivalências:
As perguntas que vamos responder (clarinho):
- Verificar se cada uma dessas equivalências é correta (ou em que condições é correta).
- Encontrar a solução correta da desigualdade original
.
Informações relevantes dadas:
- A desigualdade inicial é
. - Há uma divisão por
, então naturalmente existe a restrição de domínio (pois não se pode dividir por zero).
Passo 2
Primeira operação natural: passar tudo para um único membro (colocar em uma fração) — isso evita armadilhas ao multiplicar por expressões que podem mudar de sinal. Vou subtrair
de ambos os lados escrevendo em uma só fração:
Agora, colocar numa fração comum:
Calcule o numerador passo a passo:
Portanto a desigualdade é equivalente a
Observação importante (didática e prática de prova): nessa transformação não se multiplicou ambos os lados por
sem considerar seu sinal — foi feita uma única fração, operação algébrica segura que preserva equivalência desde que se lembre de excluir
por domínio. Sempre lembrar: quando fizer multiplicação por uma expressão envolvendo a variável, é preciso considerar se é positiva ou negativa (ou fazer a transformação por fração como eu fiz).
Passo 3
Agora resolvemos a desigualdade racional
lembrando que
.
Método de análise por sinais (muito útil em provas): encontramos zeros do numerador e pontos críticos (zeros do denominador) e fazemos um quadro de sinais. Aqui:
- Numerador
quando . - Denominador
quando (ponto excluído do domínio).
Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
,
,
. Em cada intervalo verificamos o sinal de
.
Passo 4
Avaliação de sinais em cada intervalo (vou testar um ponto simples em cada intervalo):
-
Intervalo
. Por exemplo, pegue . - Numerador:
. - Denominador:
. - Fração: positivo dividido por negativo é negativo. Então
nesse intervalo.
- Numerador:
-
Intervalo
. Por exemplo, pegue . - Numerador:
. - Denominador:
. - Fração: positivo dividido por positivo é positivo. Então
nesse intervalo.
- Numerador:
-
Intervalo
. Por exemplo, pegue . - Numerador:
. - Denominador:
. - Fração: negativo dividido por positivo é negativo. Então
nesse intervalo.
- Numerador:
Conclusão do quadro de sinais: a desigualdade
é satisfeita apenas para
em
.
Passo 5
Verificação dos pontos extremos e domínio:
-
está fora do domínio (denominador zero) — não pode ser incluído. -
anula o numerador, produz , mas a desigualdade é estrita , então não é solução.
Portanto a solução final é
Passo 6
Agora comento cada equivalência da resolução do estudante:
-
I.
. - Essa equivalência foi obtida presumivelmente multiplicando ambos os lados por
. Esse passo NÃO é válida de forma geral sem considerar o sinal de : ao multiplicar por uma expressão que pode ser negativa a desigualdade se inverte. Assim, a equivalência escrita é falsa no sentido geral (ela só seria correta se alguém adicionasse a condição , isto é, ). Então I está incorreta como equivalência geral porque omite a condição sobre o sinal de .
- Essa equivalência foi obtida presumivelmente multiplicando ambos os lados por
-
II.
. - Aqui foi só executar a distributiva
. Esse passo é correto (é apenas identidade algébrica).
- Aqui foi só executar a distributiva
-
III.
. - Subtrair
dos dois lados: . Esse passo é correto.
- Subtrair
-
IV.
. - Multiplicar ou dividir por
inverte a desigualdade: é equivalente a . Esse passo é correto.
- Multiplicar ou dividir por
Resumo: o erro do estudante está no passo I (esqueceu de considerar o sinal de
). Por isso, apesar de as etapas finais levarem a
, essa conclusão é mais ampla que a solução correta: o estudante inclui valeiros de
que não satisfazem a desigualdade original. A solução correta é
.
Passo 7
Dica prática para prova (amigo falando com amigo): quando aparecer
não é seguro multiplicar por
sem testar o sinal de
. Boas estratégias:
- Colocar tudo numa fração
e fazer o esquema de sinais (como eu fiz). - Ou tratar separadamente os casos
e ao multiplicar, lembrando de excluir .
Você mandou bem de trazer a cadeia: dá pra ver onde a armadilha está (passo I). Força aí que dá pra aprender isso rapidinho — na prova faça a fração e o quadro de sinais; é seguro e costuma ser rápido.