Para a fibra óptica de índice gradual de perfil parabólico, mostre que:
a) Guardando somente termos lineares em
temos:
onde
.
b) A solução geral de trajetória é dada por:
onde
.
c) Assumindo para o raio que tem a maior trajetória
e
, determine através da equação abaixo
o limite para produto
. Lembre-se que o raio que caminha paralelo ao eixo tem
e
.
a) Guardando somente termos lineares em
b) A solução geral de trajetória é dada por:
c) Assumindo para o raio que tem a maior trajetória
Passo 1
O enunciado trata de fibra óptica de índice gradual com perfil parabólico. Precisamos usar a equação para trajetórias geométricas em meios com índice variável, expandir o índice e a inclinação da ponta do raio até termos lineares em $\x1ctrlDelta$ e, em seguida, resolver a equação diferencial para $\rho(z)$. Por fim, calcular o tempo de trânsito integral e comparar com o raio axial.
Passo 2
Em meios com índice variável $n(\rho)$, a equação de trajeto em coordenadas cilíndricas dá $,\frac{d}{d z}\bigl(n,\frac{d\rho}{dz}\bigr)+\frac{\partial n}{\partial \rho}=0$. Aqui \n(\rho)=n_1\sqrt{1-2\Delta(\rho/a)^2}\approx n_1\bigl(1-\Delta,\frac{\rho2}{a2}\bigr)\). Mantendo apenas termos lineares em \rho na eq. acima, obtemos
$$
\frac{d2\rho}{dz2}=-\frac{2\Delta}{a^2},\rho
$$
\frac{d2\rho}{dz2}=-\frac{2\Delta}{a^2},\rho
$$
Passo 3
Essa é uma equação de oscilador harmônico simples. A solução geral é
$$
\rho(z)=A\cos(pz)+B\sin(pz),
$$
\rho(z)=A\cos(pz)+B\sin(pz),
$$
onde o parâmetro \p\ satisfaz \p2=2\Delta/a2\, ou seja \p=\frac{\sqrt{2\Delta}}{a}\.
Passo 4
Para o raio que toca o núcleo na amplitude máxima, escolhemos \B=0\ e \A=a\, então \rho(z)=a\cos(pz)\. A inclinação é \d\rho/dz=-a p\sin(pz)\. O tempo de trânsito entre \z=0\ e \z=L\ é
$$
T=\int_{0}{L}\frac{n(\rho)}{c}\sqrt{1+\Bigl(\frac{d\rho}{dz}\Bigr)2}\,dz.
$$
T=\int_{0}{L}\frac{n(\rho)}{c}\sqrt{1+\Bigl(\frac{d\rho}{dz}\Bigr)2}\,dz.
$$
Passo 5
Expandindo para $\Delta\ll1$: \n(1)\ n(\rho)/c\approx(n_1/c)(1-\Delta\cos^2(pz))\;\n(2)\ \sqrt{1+(a p\sin(pz))^2}\approx1+\tfrac12(a p)2\sin2(pz)=1+\Delta\sin^2(pz). Integrando,
$$
T=\frac{n_1}{c}\int_{0}{L}\bigl[1-\Delta\cos2(pz)+\Delta\sin^2(pz)\bigr]dz
=\frac{n_1}{c}\Bigl[L-\frac{\Delta}{2p}\sin(2pL)\Bigr].
$$
T=\frac{n_1}{c}\int_{0}{L}\bigl[1-\Delta\cos2(pz)+\Delta\sin^2(pz)\bigr]dz
=\frac{n_1}{c}\Bigl[L-\frac{\Delta}{2p}\sin(2pL)\Bigr].
$$
Passo 6
O raio axial (\rho=0) leva tempo \T_0=Ln_1/c\. A diferença de tempo entre o pior modo e o axial some exata e periodicamente quando \sin(2pL)=0\, i.e. \p L=m\pi/2\. Nesses comprimentos a fibra elimina dispersão modal.
Passo 7
Num sistema sem dispersão modal, a largura de banda B fica limitada só pela fonte e perdas, logo o produto B·L tende a infinito. Portanto, no caso ideal de $L=m\pi/p$.
Resposta
O produto
B,L\to\infty$) quando \sin(2pL)=0\, ou seja para \p L=m\pi/2\.