Para a fibra óptica de índice gradual de perfil parabólico, mostre que:
a) Guardando somente termos lineares em rho temos:
partial^2 rhopartial z^2=-2 De
onde rho(z)=A cos (p z)+B sin (p z) .
b) A solução geral de trajetória é dada por:
p=raiz2 De
onde B=0.
c) Assumindo para o raio que tem a maior trajetória A=a e T=integral0^T d t=integral0^L nc raiz1+(d rhod z)^2 d z , determine através da equação abaixo
B L
o limite para produto rho(z)=0. Lembre-se que o raio que caminha paralelo ao eixo tem T=L n1 / c e .

Passo 1

O enunciado trata de fibra óptica de índice gradual com perfil parabólico. Precisamos usar a equação para trajetórias geométricas em meios com índice variável, expandir o índice e a inclinação da ponta do raio até termos lineares em $\x1ctrlDelta$ e, em seguida, resolver a equação diferencial para $\rho(z)$. Por fim, calcular o tempo de trânsito integral e comparar com o raio axial.

Passo 2

Em meios com índice variável $n(\rho)$, a equação de trajeto em coordenadas cilíndricas dá $,\frac{d}{d z}\bigl(n,\frac{d\rho}{dz}\bigr)+\frac{\partial n}{\partial \rho}=0$. Aqui \n(\rho)=n_1\sqrt{1-2\Delta(\rho/a)^2}\approx n_1\bigl(1-\Delta,\frac{\rho2}{a2}\bigr)\). Mantendo apenas termos lineares em \rho na eq. acima, obtemos
$$
\frac{d2\rho}{dz2}=-\frac{2\Delta}{a^2},\rho
$$

Passo 3

Essa é uma equação de oscilador harmônico simples. A solução geral é
$$
\rho(z)=A\cos(pz)+B\sin(pz),
$$
onde o parâmetro \p\ satisfaz \p2=2\Delta/a2\, ou seja \p=\frac{\sqrt{2\Delta}}{a}\.

Passo 4

Para o raio que toca o núcleo na amplitude máxima, escolhemos \B=0\ e \A=a\, então \rho(z)=a\cos(pz)\. A inclinação é \d\rho/dz=-a p\sin(pz)\. O tempo de trânsito entre \z=0\ e \z=L\ é
$$
T=\int_{0}{L}\frac{n(\rho)}{c}\sqrt{1+\Bigl(\frac{d\rho}{dz}\Bigr)2}\,dz.
$$

Passo 5

Expandindo para $\Delta\ll1$: \n(1)\ n(\rho)/c\approx(n_1/c)(1-\Delta\cos^2(pz))\;\n(2)\ \sqrt{1+(a p\sin(pz))^2}\approx1+\tfrac12(a p)2\sin2(pz)=1+\Delta\sin^2(pz). Integrando,
$$
T=\frac{n_1}{c}\int_{0}{L}\bigl[1-\Delta\cos2(pz)+\Delta\sin^2(pz)\bigr]dz
=\frac{n_1}{c}\Bigl[L-\frac{\Delta}{2p}\sin(2pL)\Bigr].
$$

Passo 6

O raio axial (\rho=0) leva tempo \T_0=Ln_1/c\. A diferença de tempo entre o pior modo e o axial some exata e periodicamente quando \sin(2pL)=0\, i.e. \p L=m\pi/2\. Nesses comprimentos a fibra elimina dispersão modal.

Passo 7

Num sistema sem dispersão modal, a largura de banda B fica limitada só pela fonte e perdas, logo o produto B·L tende a infinito. Portanto, no caso ideal de $L=m\pi/p$.

Resposta

O produto B,LB,L\to\infty$) quando \sin(2pL)=0\, ou seja para \p L=m\pi/2\.

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