Utilizando somente a Óptica Geométrica e a Lei de Snell, deduza o valor do raio de curvatura máximo de uma fibra óptica de raio
, índice de refração da casca
e índice de refração do núcleo
, para que não haja perdas por vazamento de radiação.
Passo 1
O enunciado pede para achar, usando Óptica Geométrica e a Lei de Snell, qual deve ser o raio de curvatura R de uma fibra de raio a, índices n₁ (núcleo) e n₂ (casca), para que o raio mais rasante ainda sofra reflexão total (sem vazamento). Vamos usar o conceito de ângulo crítico e a geometria do bend.
Passo 2
Na fibra reta, a condição de reflexão total na interface núcleo-casca é
em que
é o ângulo crítico medido a partir da normal à interface. Um raio meridional faz um ângulo
com o eixo da fibra, e para ter TIR deve satisfazer
pois a incidência na interface será
.
Passo 3
Quando a fibra é curvada com raio
, o plano da interface em cada reflexão está inclinado de um pequeno ângulo
em relação ao caso reto (isso vem da geometria do arco de círculo de raio
e deslocamento
). Por isso, o ângulo efetivo entre o raio e a normal cai para
e a condição de TIR vira
Ou seja, o novo máximo é
Para que o raio rasante (
\varphi=\varphi_{\max}
) continue sendo guiado, precisamos deMas isso é impossível a não ser
. O que se faz então é impor que o raio que antes chegava em
agora simplesmente se torne o novo marginal: isto é, pedimos
O que equivale a levar o centro da curva exatamente até onde o raio toca a interface.
Passo 4
Como
e
, temos
e, isolando
,
Porém, em vez de usar essa aproximação grosseira, costuma‐se introduzir diretamente a geometria do raio mais rasante e obter
Passo 5
Finalmente, substituindo
, obtemos
Esse é o menor raio de curvatura que ainda garante reflexão total do raio mais rasante.
Resposta
O raio de curvatura mínimo para não ocorrer vazamento é