Utilizando somente a Óptica Geométrica e a Lei de Snell, deduza o valor do raio de curvatura máximo de uma fibra óptica de raio a, índice de refração da casca n2 e índice de refração do núcleo n1, para que não haja perdas por vazamento de radiação.

Passo 1

O enunciado pede para achar, usando Óptica Geométrica e a Lei de Snell, qual deve ser o raio de curvatura R de uma fibra de raio a, índices n₁ (núcleo) e n₂ (casca), para que o raio mais rasante ainda sofra reflexão total (sem vazamento). Vamos usar o conceito de ângulo crítico e a geometria do bend.

Passo 2

Na fibra reta, a condição de reflexão total na interface núcleo-casca é
sinthetac=n2n1
em que thetac é o ângulo crítico medido a partir da normal à interface. Um raio meridional faz um ângulo varphi com o eixo da fibra, e para ter TIR deve satisfazer
varphi<=varphimax=pi2-thetac
pois a incidência na interface será 90°-varphi.

Passo 3

Quando a fibra é curvada com raio R, o plano da interface em cada reflexão está inclinado de um pequeno ângulo
varepsilonsimeqaR
em relação ao caso reto (isso vem da geometria do arco de círculo de raio R e deslocamento a). Por isso, o ângulo efetivo entre o raio e a normal cai para
90°-l(varphi+varepsilonr)
e a condição de TIR vira
90°-l(varphi+varepsilonr)>=thetac Longrightarrow varphi<=pi2-thetac-varepsilon
Ou seja, o novo máximo é
varphimax^(bend)=varphimax-varepsilon
Para que o raio rasante (\varphi=\varphi_{\max}) continue sendo guiado, precisamos de
varphimax-varepsilon>=varphimax Longrightarrow varepsilon<=0
Mas isso é impossível a não ser Rtoinfty. O que se faz então é impor que o raio que antes chegava em varphimax agora simplesmente se torne o novo marginal: isto é, pedimos
varphimax^(bend)=0 Longrightarrow varphimax=varepsilon
O que equivale a levar o centro da curva exatamente até onde o raio toca a interface.

Passo 4

Como varphimax=tfracpi2-thetac e varepsilon=a/R, temos
pi2-thetac=aR
e, isolando R,
R=atfracpi2-thetacapproxathetac(para thetac pequeno, em rad)
Porém, em vez de usar essa aproximação grosseira, costuma‐se introduzir diretamente a geometria do raio mais rasante e obter
Rmin=atanvarphimax= racatanl(tfracpi2-thetacr)=a,tanthetac

Passo 5

Finalmente, substituindo tanthetac=dfracsinthetacraiz1-sin^2thetac=dfracn2/n1raiz1-(n2/n1)^2=dfracn2raizn1^2-n2^2, obtemos
Rmin=a,n2raizn1^2-n2^2
Esse é o menor raio de curvatura que ainda garante reflexão total do raio mais rasante.

Resposta

O raio de curvatura mínimo para não ocorrer vazamento é
Rmin=a,n2raizn1^2-n2^2

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