A partir das equações de Maxwell para meios dielétricos sem cargas ou correntes, com índice de refração
variável com a posição obtenha a equação de ondas para o campo elétrico:
Passo 1
O exercício pede pra derivar a equação de ondas para o campo elétrico em um meio dielétrico sem cargas ou correntes, onde o índice de refração
varia no espaço. Vamos precisar das equações de Maxwell para meios, das relações constitutivas
e
, usar a identidade vetorial de curl–curl e a condição
.
Passo 2
Começando das equações de Maxwell sem fontes:
e
. Substituindo as relações constitutivas em um meio não magnético e sem condutividade, temos
e
.
Passo 3
Aplicando o operador curl em
, obtemos
Como
não depende de
, isso vira
.
Passo 4
A identidade vetorial diz que
Igualando aos resultados anteriores:
Passo 5
Reagrupando:
Como
, fica
Para campo harmônico
e definindo
, temos
Passo 6
Usando
, isto é
, obtemos
Passo 7
Substituindo
na equação de onda, o termo de divergência fica
E chegamos à forma final da equação de ondas:
Passo 8
Resposta
[(\nabla^2 + k_02n2)\mathbf{E} = -\nabla\Bigl(\tfrac{1}{n2},\nabla(n2)\cdot\mathbf{E}\Bigr).]