A partir das equações de Maxwell para meios dielétricos sem cargas ou correntes, com índice de refração n(x)=raizvarepsilonr variável com a posição obtenha a equação de ondas para o campo elétrico:
(nabla^2+k0^2 n^2) E=-nabla(1n^2 nabla(n^2) cdot E)

Passo 1

O exercício pede pra derivar a equação de ondas para o campo elétrico em um meio dielétrico sem cargas ou correntes, onde o índice de refração n(x)=raizvarepsilonr(x) varia no espaço. Vamos precisar das equações de Maxwell para meios, das relações constitutivas D=varepsilon0varepsilonrE e B=mu0H, usar a identidade vetorial de curl–curl e a condição nablacdotD=0.

Passo 2

Começando das equações de Maxwell sem fontes: nablatimesE=-partialB/partial t e nablatimesH=partialD/partial t. Substituindo as relações constitutivas em um meio não magnético e sem condutividade, temos B=mu0H e D=varepsilon0n^2E.

Passo 3

Aplicando o operador curl em nablatimesE=-partialB/partial t, obtemos
nablatimes(nablatimesE) = -partialpartial t(nablatimesB) = -mu0partialpartial t(nablatimesH) = -mu0varepsilon0partial^2(n^2E)partial t^2
Como n^2 não depende de t, isso vira -mu0varepsilon0n^2partial^2E/partial t^2.

Passo 4

A identidade vetorial diz que
nablatimes(nablatimesE) = nabla(nablacdotE) - nabla^2E
Igualando aos resultados anteriores:
nabla(nablacdotE) - nabla^2E = -mu0varepsilon0n^2partial^2Epartial t^2

Passo 5

Reagrupando:
nabla^2E - mu0varepsilon0n^2partial^2Epartial t^2 = nabla(nablacdotE)
Como c^-2=mu0varepsilon0, fica
nabla^2E - n^2c^2partial^2Epartial t^2 = nabla(nablacdotE)
Para campo harmônico E(x,t)=E(x)e^-iomega t e definindo k0=omega/c, temos
nabla^2E + k0^2n^2E = nabla(nablacdotE)

Passo 6

Usando nablacdotD=0, isto é nablacdot(n^2E)=0, obtemos
n^2nablacdotE + Ecdotnabla(n^2)=0 Rightarrow nablacdotE = -Ecdotnabla(n^2)n^2

Passo 7

Substituindo nablacdotE na equação de onda, o termo de divergência fica
nabla(nablacdotE) = -nabla!l(Ecdotnabla(n^2)n^2r) = -nablal(tfrac1n^2,nabla(n^2)cdotEr)
E chegamos à forma final da equação de ondas:

Passo 8

(nabla^2 + k0^2n^2)E = -nablal(tfrac1n^2,nabla(n^2)cdotEr)

Resposta

[(\nabla^2 + k_02n2)\mathbf{E} = -\nabla\Bigl(\tfrac{1}{n2},\nabla(n2)\cdot\mathbf{E}\Bigr).]

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