1. Uma fila de cadeiras, no cinema, tem 10 poltronas. De quantos modos 3 casais podem se sentar nessas poltronas, de modo que nenhum marido se sente separado de sua mulher?

Passo 1

O enunciado pede: “De quantos modos 3 casais podem se sentar em 10 poltronas em fila de modo que nenhum marido fique separado de sua mulher?”\n
Informações dadas e o que precisa ser decidido:
  • 10 poltronas alinhadas (cadeiras numeradas implicitamente da esquerda para a direita).
  • Existem 3 casais, logo 6 pessoas no total.
  • Condição obrigatória: em cada casal, os dois membros devem sentar-se lado a lado (ou seja, cada casal ocupa dois assentos adjacentes).
  • As outras 4 poltronas ficarão vazias.
  • Precisamos contar o número total de arranjos distintos que obedecem a essa condição.

Passo 2

Ideia principal (sem cálculo ainda): tratar cada casal como um “bloco” que ocupa dois assentos adjacentes. Assim, em vez de pensar em 6 pessoas soltas, pensamos em 3 blocos (cada bloco com comprimento 2) mais as 4 cadeiras vazias (cada uma com comprimento 1). Vou explicar por que isso simplifica e como contar posições possíveis para esses blocos.\n
Raciocínio visual: os 10 assentos podem ser vistos como uma sequência onde vamos colocar 3 blocos de tamanho 2 (os casais) e 4 blocos de tamanho 1 (cadeiras vazias). Todos os blocos ocupam juntos 3\cdot 2 + 4\cdot 1 = 10 assentos — portanto, uma disposição desses 7 blocos na fila corresponde exatamente a uma escolha das posições dos casais entre as 10 cadeiras.

Passo 3

Contagem das posições dos blocos (escolher onde os casais ficarão): após a compressão (cada casal vira um bloco de “comprimento 1” na visão comprimida), temos 3 blocos-casal + 4 blocos-vazios = 7 blocos de comprimento unitário a serem dispostos em fila. O que nos interessa é escolher quais 3 dentre essas 7 posições ficarão ocupadas pelos blocos-casal.\n
Portanto, o número de maneiras de escolher as posições dos 3 blocos-casal é o número de combinações de 7 posições tomadas de 3 em 3, ou seja, o coeficiente binomial \binom{7}{3}.\n
Breve explicação do coeficiente binomial: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k objetos distintos entre n sem considerar ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “n fatorial”) é o produto 1\cdot 2\cdot 3\cdots n. Aqui n=7 e k=3.

Passo 4

Calculemos \binom{7}{3}.\n
Aplicando a fórmula:
\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\,4!}.
Agora desenvolvendo 7!=7\cdot6\cdot5\cdot4! e cancelando 4!, obtemos
\binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{3!\,4!}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}.
Calculando passo a passo:
7\cdot6\cdot5=210,\qquad 3\cdot2\cdot1=6,\qquad \frac{210}{6}=35.
Logo \binom{7}{3}=35. Isso significa que existem 35 maneiras de escolher as posições (na visão comprimida) onde os três blocos-casal ficarão.

Passo 5

Agora consideramos que os casais são distintos entre si (por exemplo casal A, casal B, casal C). Para cada escolha das 3 posições dentre as 7, precisamos atribuir qual casal vai a cada uma dessas posições. O número de maneiras de permutar 3 objetos distintos em 3 posições é 3! (três fatorial), isto é:
3!=3\cdot2\cdot1=6.
Portanto, para cada escolha de posições há 6 maneiras de distribuir os casais nessas posições.

Passo 6

Dentro de cada casal, a ordem dos dois membros importa: o marido pode sentar-se à esquerda e a mulher à direita, ou vice-versa. Cada casal tem 2 arranjos internos possíveis. Como há 3 casais independentes, o total de arranjos internos é
2^3=8.
Explicando: usamos potência porque as escolhas internas em cada casal se combinam (regra multiplicativa).

Passo 7

Agora combinamos todas as contagens usando a regra do produto (se temos escolhas independentes, multiplicamos os números de escolhas).\n
  • Escolhas das posições comprimidas: \binom{7}{3}=35.\n
  • Permutação dos casais entre essas posições: 3!=6.\n
  • Arranjos internos em cada casal: 2^3=8.\n
    Multiplicando:
\text{total}=\binom{7}{3}\times 3! \times 2^3.
Substituindo os valores:
\text{total}=35\times 6\times 8.
Calculemos passo a passo:
6\times 8=48,
35\times 48 = 35\times(50-2)=1750-70=1680.

Passo 8

Pequena verificação de coerência (intuição): o número não é pequeno (há muitas possibilidades por causa das permutações internas e das escolhas de posições) nem absurdamente grande (limitado pelas 10 cadeiras). O método de comprimir blocos é clássico e evitou contar sequências inválidas com casais separados.

Resposta

\;1680

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