- Uma fila de cadeiras, no cinema, tem 10 poltronas. De quantos modos 3 casais podem se sentar nessas poltronas, de modo que nenhum marido se sente separado de sua mulher?
Passo 1
O enunciado pede: “De quantos modos 3 casais podem se sentar em
poltronas em fila de modo que nenhum marido fique separado de sua mulher?”\n
Informações dadas e o que precisa ser decidido:
Informações dadas e o que precisa ser decidido:
- Há
poltronas alinhadas (cadeiras numeradas implicitamente da esquerda para a direita). - Existem
casais, logo pessoas no total. - Condição obrigatória: em cada casal, os dois membros devem sentar-se lado a lado (ou seja, cada casal ocupa dois assentos adjacentes).
- As outras
poltronas ficarão vazias. - Precisamos contar o número total de arranjos distintos que obedecem a essa condição.
Passo 2
Ideia principal (sem cálculo ainda): tratar cada casal como um “bloco” que ocupa dois assentos adjacentes. Assim, em vez de pensar em
pessoas soltas, pensamos em
blocos (cada bloco com comprimento
) mais as
cadeiras vazias (cada uma com comprimento
). Vou explicar por que isso simplifica e como contar posições possíveis para esses blocos.\n
Raciocínio visual: os assentos podem ser vistos como uma sequência onde vamos colocar 3 blocos de tamanho
(os casais) e 4 blocos de tamanho
(cadeiras vazias). Todos os blocos ocupam juntos
assentos — portanto, uma disposição desses 7 blocos na fila corresponde exatamente a uma escolha das posições dos casais entre as
cadeiras.
Raciocínio visual: os
Passo 3
Contagem das posições dos blocos (escolher onde os casais ficarão): após a compressão (cada casal vira um bloco de “comprimento 1” na visão comprimida), temos
blocos-casal +
blocos-vazios =
blocos de comprimento unitário a serem dispostos em fila. O que nos interessa é escolher quais
dentre essas
posições ficarão ocupadas pelos blocos-casal.\n
Portanto, o número de maneiras de escolher as posições dos blocos-casal é o número de combinações de
posições tomadas de
em
, ou seja, o coeficiente binomial
.\n
Breve explicação do coeficiente binomial: é o número de maneiras de escolher
objetos distintos entre
sem considerar ordem. A fórmula é
Portanto, o número de maneiras de escolher as posições dos
Breve explicação do coeficiente binomial:
onde
(lê-se “n fatorial”) é o produto
. Aqui
e
.
Passo 4
Calculemos
.\n
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Agora desenvolvendo
e cancelando
, obtemos
Calculando passo a passo:
Logo
. Isso significa que existem
maneiras de escolher as posições (na visão comprimida) onde os três blocos-casal ficarão.
Passo 5
Agora consideramos que os casais são distintos entre si (por exemplo casal
, casal
, casal
). Para cada escolha das
posições dentre as
, precisamos atribuir qual casal vai a cada uma dessas posições. O número de maneiras de permutar
objetos distintos em
posições é
(três fatorial), isto é:
Portanto, para cada escolha de posições há
maneiras de distribuir os casais nessas posições.
Passo 6
Dentro de cada casal, a ordem dos dois membros importa: o marido pode sentar-se à esquerda e a mulher à direita, ou vice-versa. Cada casal tem
arranjos internos possíveis. Como há
casais independentes, o total de arranjos internos é
Explicando: usamos potência porque as escolhas internas em cada casal se combinam (regra multiplicativa).
Passo 7
Agora combinamos todas as contagens usando a regra do produto (se temos escolhas independentes, multiplicamos os números de escolhas).\n
- Escolhas das posições comprimidas:
.\n - Permutação dos casais entre essas posições:
.\n - Arranjos internos em cada casal:
.\n
Multiplicando:
Substituindo os valores:
Calculemos passo a passo:
Passo 8
Pequena verificação de coerência (intuição): o número não é pequeno (há muitas possibilidades por causa das permutações internas e das escolhas de posições) nem absurdamente grande (limitado pelas
cadeiras). O método de comprimir blocos é clássico e evitou contar sequências inválidas com casais separados.