1. Quantas são as soluções inteiras e não-negativas de x+y+z \leqslant 6 ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quantas são as soluções inteiras e não-negativas de x+y+z \leqslant 6 ?”.
Informações dadas e objetivo claros: procuramos todas as tuplas (x,y,z) com x,y,z\in\mathbb{Z}_{\ge 0} tais que a soma seja menor ou igual a 6. Não há restrição extra (como ordem, limites individuais etc.).

Passo 2

Vamos transformar a desigualdade em uma igualdade introduzindo uma variável “folga” (às vezes chamada de variável slack). Defina uma nova variável t por
t = 6 - (x+y+z).
Como x+y+z \le 6 e x,y,z\ge 0, temos t\ge 0 inteiro. Portanto as soluções de interesse correspondem exatamente às soluções inteiras e não-negativas da equação
x+y+z+t = 6,
com x,y,z,t\in\mathbb{Z}_{\ge 0}.

Passo 3

Agora o problema é clássico: contar o número de soluções inteiras e não-negativas de uma soma de 4 variáveis igual a 6. Vou explicar a ferramenta que usamos para isso (a famosa técnica “estrelas e barras”).

Passo 4

Ensinando “estrelas e barras” (intuição e prova curta): pense que você tem 6 unidades idênticas (representadas por 6 estrelas) que serão distribuídas em 4 caixas (cada caixa corresponde a uma variável x,y,z,t). Uma maneira de codificar uma distribuição é escrever as 6 estrelas em linha e colocar 3 barras entre elas para separar as quatro caixas. Por exemplo,
**\;|\;*\;|\;|\;***
significa x=2, y=1, z=0, t=3. Toda distribuição corresponde a uma escolha de posições das 3 barras entre as 6 estrelas e nos extremos possíveis, e toda escolha distinta de posições de barras dá uma distribuição distinta. Então o problema se reduz a contar o número de maneiras de intercalar 6 estrelas e 3 barras em uma sequência — ou seja, escolher as posições das 3 barras entre as 6+3=9 espaços totais.
Formalizando: número de soluções não-negativas de
u_1+u_2+\dots+u_n = k
é
\binom{k+n-1}{n-1}.
Aqui n é o número de variáveis (caixas) e k é o total de estrelas. A fórmula vem exatamente do argumento “escolher as posições das n-1 barras entre k+n-1 posições”.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso: temos n=4 variáveis ( x,y,z,t) e k=6. Portanto o número de soluções é
\binom{6+4-1}{4-1} = \binom{9}{3}.

Passo 6

Calculemos \binom{9}{3}. Pela definição de coeficiente binomial,
\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!\,6!}.
Para calcular sem expandir todos os fatoriais, podemos simplificar:
\binom{9}{3} = \frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1} = \frac{504}{6} = 84.
Logo há 84 soluções.

Passo 7

(Aqui uma verificação alternativa rápida, só para fixar a ideia.) Outra maneira seria somar, para cada s=0,1,\dots,6, o número de soluções de x+y+z=s. Para cada s \binom{s+2}{2} soluções, e a soma
\sum_{s=0}^{6} \binom{s+2}{2}
pela identidade do “Hockey-stick” dá \binom{9}{3}=84. Portanto confirma o resultado.

Resposta

84

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