- Quantas são as soluções inteiras e positivas de
?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantas são as soluções inteiras e positivas de
?”\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- As incógnitas são
, e .\n - Cada uma deve ser um número inteiro e positivo (ou seja,
).\n - A equação é
.\n
A pergunta única é: contar quantas tripletasde inteiros positivos satisfazem essa equação.
Passo 2
Estratégia básica (muito usada e simples): transformar o problema de “positivos” em um problema de “não-negativos”, que é mais fácil de contar.\n
Defina novas variáveis .\n
Explicação do porquê: como ,
,
são positivos, cada um é pelo menos
. Subtraindo
de cada, obtemos variáveis que podem ser
ou maiores (não-negativas). Assim a contagem de soluções positivas de
corresponde à contagem de soluções não-negativas de outra equação.
Defina novas variáveis
Explicação do porquê: como
Passo 3
Aplique a substituição ao lado direito:\n
Isolando os primos:
Agora o problema é: contar o número de soluções em inteiros não-negativos de
, com
.
Passo 4
Fórmula padrão (onde vale a pena entender a ideia): o número de soluções em inteiros não-negativos da equação
é
Breve explicação intuitiva (método “estrelas e barras”): pense em
estrelas que representam unidades a distribuir e em
barras que separam as
caixas. Um arranjo de todas as
estrelas e
barras corresponde a uma solução, e existem
maneiras de escolher as posições das barras entre os
lugares.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui
e
. Logo
Calcule
:
Passo 6
Verificação concreta (opcional, para ver que faz sentido): podemos listar as soluções positivas de forma sistemática por valores de
:\n
\n
\n
\n
\n
\n
Contando-os dá , consistente com a fórmula.
Contando-os dá