1. Quantas são as soluções inteiras e positivas de x+y+z=7 ?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantas são as soluções inteiras e positivas de x+y+z=7?”\n
Informações dadas:\n
  • As incógnitas são x, y e z.\n
  • Cada uma deve ser um número inteiro e positivo (ou seja, \ge 1).\n
  • A equação é \;x+y+z=7.\n
    A pergunta única é: contar quantas tripletas (x,y,z) de inteiros positivos satisfazem essa equação.

Passo 2

Estratégia básica (muito usada e simples): transformar o problema de “positivos” em um problema de “não-negativos”, que é mais fácil de contar.\n
Defina novas variáveis \;x'=x-1,\;y'=y-1,\;z'=z-1.\n
Explicação do porquê: como x, y, z são positivos, cada um é pelo menos 1. Subtraindo 1 de cada, obtemos variáveis que podem ser 0 ou maiores (não-negativas). Assim a contagem de soluções positivas de x+y+z=7 corresponde à contagem de soluções não-negativas de outra equação.

Passo 3

Aplique a substituição ao lado direito:\n
x+y+z=7 \Rightarrow (x'+1)+(y'+1)+(z'+1)=7.
Isolando os primos:
x'+y'+z' = 7-3 = 4.
Agora o problema é: contar o número de soluções em inteiros não-negativos de \;x'+y'+z'=4, com \;x',y',z'\ge 0.

Passo 4

Fórmula padrão (onde vale a pena entender a ideia): o número de soluções em inteiros não-negativos da equação \;u_1+\dots+u_k = m é
\binom{m+k-1}{k-1}.
Breve explicação intuitiva (método “estrelas e barras”): pense em m estrelas que representam unidades a distribuir e em k-1 barras que separam as k caixas. Um arranjo de todas as m estrelas e k-1 barras corresponde a uma solução, e existem \binom{m+k-1}{k-1} maneiras de escolher as posições das barras entre os m+k-1 lugares.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui m=4 e k=3. Logo
\binom{4+3-1}{3-1}=\binom{6}{2}.
Calcule \binom{6}{2}:
\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}=15.

Passo 6

Verificação concreta (opcional, para ver que faz sentido): podemos listar as soluções positivas de forma sistemática por valores de x:\n
(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(1,4,2),(1,5,1),\n
(2,1,4),(2,2,3),(2,3,2),(2,4,1),\n
(3,1,3),(3,2,2),(3,3,1),\n
(4,1,2),(4,2,1),\n
(5,1,1).\n
Contando-os dá 5+4+3+2+1=15, consistente com a fórmula.

Resposta

15

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