Numa fila de cinema, 8 pessoas têm notas de \mathrm{R} \ 10,00 e 3 pessoas têm notas deê\mathrm{R} $20,00 . A en- trada custa \(\mathrm{R} \\) 10,00.
(a) Quantas são as filas possíveis?
(b) Quantas são as filas que terão problemas de troco se a bilheteria começa a trabalhar sem troco?
(c) Quantas são as filas que terão problemas de troco se a bilheteria começa a trabalhar com duas notas de \mathrm{R} \ 10,00$ ?

Passo 1

Resumindo: na fila há 8 pessoas que pagam com nota de \mathrm{R}\$10{,}00 (que não precisam de troco) e 3 pessoas que pagam com nota de \mathrm{R}\$20{,}00 (que precisam de uma nota de \mathrm{R}\$10{,}00 de troco). O ingresso custa \mathrm{R}\$10{,}00. Vamos usar combinatória de permutações com elementos repetidos e o princípio do ballot (teorema de Bertrand) para contar as filas que nunca “quebram” o caixa.

Passo 2

(a) O número total de maneiras de ordenar 11 pessoas, sendo 8 idênticas de um tipo e 3 idênticas de outro, é
\frac{11!}{8!\,3!} = \binom{11}{3} = 165

Passo 3

(b) Se o caixa começa sem troco, para não ter problema em nenhum momento a quantidade de notas de \mathrm{R}\$20{,}00 atendidas nunca pode ultrapassar a de \mathrm{R}\$10{,}00 já recebidas. Pelo teorema de Bertrand, o número de sequências “boas” é
\frac{8-3+1}{8+1}\,\binom{11}{3} =\frac{6}{9}\times165=110
Logo, as filas que têm problema de troco são
165 - 110 = 55

Passo 4

(c) Se o caixa começa com duas notas de \mathrm{R}\$10{,}00 de troco, ele só ficará sem troco se, em algum prefixo da fila, o número de clientes com \mathrm{R}\$20{,}00 exceder o das notas de \mathrm{R}\$10{,}00 atendidas mais 2 iniciais. Pela reflexão (ou observando que só dá problema se as três primeiras pessoas já forem as de \mathrm{R}\$20{,}00), o número de filas problemáticas é
\binom{11}{3-2-1} \;=\;\binom{11}{0}\;=\;1

Resposta

(a) 165
(b) 55
(c) 1

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