Numa fila de cinema, 8 pessoas têm notas de
10,00
\mathrm{R} $20,00
.
(a) Quantas são as filas possíveis?
(b) Quantas são as filas que terão problemas de troco se a bilheteria começa a trabalhar sem troco?
(c) Quantas são as filas que terão problemas de troco se a bilheteria começa a trabalhar com duas notas de
10,00$ ?
(a) Quantas são as filas possíveis?
(b) Quantas são as filas que terão problemas de troco se a bilheteria começa a trabalhar sem troco?
(c) Quantas são as filas que terão problemas de troco se a bilheteria começa a trabalhar com duas notas de
Passo 1
Resumindo: na fila há 8 pessoas que pagam com nota de
(que não precisam de troco) e 3 pessoas que pagam com nota de
(que precisam de uma nota de
de troco). O ingresso custa
. Vamos usar combinatória de permutações com elementos repetidos e o princípio do ballot (teorema de Bertrand) para contar as filas que nunca “quebram” o caixa.
Passo 2
(a) O número total de maneiras de ordenar 11 pessoas, sendo 8 idênticas de um tipo e 3 idênticas de outro, é
Passo 3
(b) Se o caixa começa sem troco, para não ter problema em nenhum momento a quantidade de notas de
atendidas nunca pode ultrapassar a de
já recebidas. Pelo teorema de Bertrand, o número de sequências “boas” é
Logo, as filas que têm problema de troco são
Passo 4
(c) Se o caixa começa com duas notas de
de troco, ele só ficará sem troco se, em algum prefixo da fila, o número de clientes com
exceder o das notas de
atendidas mais 2 iniciais. Pela reflexão (ou observando que só dá problema se as três primeiras pessoas já forem as de
), o número de filas problemáticas é
Resposta
(a) 165
(b) 55
(c) 1
(b) 55
(c) 1