Um enxadrista, durante 11 semanas, joga pelo menos uma partida por dia mas não joga mais de 12 partidas por semana. Mostre que é possível achar um conjunto de dias consecutivos durante os quais ele jogou exatamente 20 partidas.
Passo 1
O enunciado considera um enxadrista que, ao longo de 11 semanas (ou seja, 77 dias), joga pelo menos uma partida por dia e no máximo 12 partidas por semana. Queremos mostrar que existe um segmento de dias consecutivos cuja soma de partidas é exatamente 20. O conteúdo-chave aqui é o princípio da casa-dos-pombos (pigeonhole principle) aplicado às somas cumulativas.
Passo 2
Denotemos por
o número de partidas jogadas no
-ésimo dia, para
. Como joga ao menos uma partida por dia, temos
e, somando ao longo de uma semana de 7 dias, cada semana tem no máximo 12 partidas, o que implica ao final de 77 dias
Definimos então as somas parciais
para
. Note que
é estritamente crescente e
Passo 3
Agora consideramos duas sequências de números:
Na primeira, cada
está no intervalo de
. Na segunda, cada
está em
. Logo, temos ao todo
números distribuídos entre 1 e 152, ou seja, apenas 152 “gavetas” possíveis. Pelo princípio da casa-dos-pombos, deve haver duas dessas 154 quantidades iguais.
Passo 4
Não pode ocorrer igualdade entre dois elementos da mesma sequência
, pois ela é estritamente crescente. Logo a colisão ocorre forçosamente entre um elemento de
e um de
. Assim, existem índices
e
tais que
Como
é crescente, fica necessariamente
. Dessa igualdade tiramos
ou seja,
Isso significa que o bloco de dias de
até
foi jogado um total de 20 partidas.
Resposta
Concluímos que sempre existe um conjunto de dias consecutivos em que o enxadrista jogou exatamente 20 partidas.