O filho de uma doceira, estudante de administração de empresas, estimou que o custo, em reais, para sua mãe produzir
bolos em um determinado mês é dado por
sendo
e
constantes reais e
. O custo fixo da doceira é
por mês. Além disso, sabese que, para produzir 210 bolos nesse período, o custo total é de
.
b) Calcule o custo marginal a partir de 300 unidades produzidas.
b) Calcule o custo marginal a partir de 300 unidades produzidas.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de custo total C(x)=−0,003x²+K₁x+K₀, com 0≤x≤450, sabendo que o custo fixo é R$ 483 (ou seja C(0)=483) e que C(210)=966. A parte (b) pede o custo marginal em x=300, isto é, a derivada de C em 300.
Passo 2
Primeiro, como custo fixo é o custo quando não se produz nada, temos C(0)=K₀=483. Então já sabemos que K₀=483.
Passo 3
Agora usamos a condição C(210)=966 para encontrar K₁. Substituindo x=210 e K₀=483 em C(x):
Calculamos -0,003·210²=−132,3 e isolamos K₁: 210·K₁=966−483+132,3=615,3, logo K₁=615,3/210=2,93.
Passo 4
Sabendo K₁, determinamos o custo marginal que é a derivada de C em relação a x. Como C(x)=−0,003x²+2,93x+483, temos
Teoria: o custo marginal em x é a taxa de variação instantânea do custo total quando se produz mais uma unidade.
Passo 5
Por fim, substituímos x=300 em C’(x):
Isso significa que produzir o 301º bolo, a partir de 300, aumenta o custo em aproximadamente R$ 1,13.
Resposta
O custo marginal a partir de 300 unidades é R$ 1,13 por bolo.