O filho de uma doceira, estudante de administração de empresas, estimou que o custo, em reais, para sua mãe produzir x bolos em um determinado mês é dado por
C(x)=-0,003 x^2+K1 x+K0,
sendo K1 e K0 constantes reais e 0 <= x <= 450. O custo fixo da doceira é R por mês. Além disso, sabese que, para produzir 210 bolos nesse período, o custo total é de por mês Além disso, sabese que, para produzir 210 bolos nesse período, o custo total é de .
b) Calcule o custo marginal a partir de 300 unidades produzidas.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de custo total C(x)=−0,003x²+K₁x+K₀, com 0≤x≤450, sabendo que o custo fixo é R$ 483 (ou seja C(0)=483) e que C(210)=966. A parte (b) pede o custo marginal em x=300, isto é, a derivada de C em 300.

Passo 2

Primeiro, como custo fixo é o custo quando não se produz nada, temos C(0)=K₀=483. Então já sabemos que K₀=483.

Passo 3

Agora usamos a condição C(210)=966 para encontrar K₁. Substituindo x=210 e K₀=483 em C(x):
-0,003cdot210^2+K1cdot210+483=966
Calculamos -0,003·210²=−132,3 e isolamos K₁: 210·K₁=966−483+132,3=615,3, logo K₁=615,3/210=2,93.

Passo 4

Sabendo K₁, determinamos o custo marginal que é a derivada de C em relação a x. Como C(x)=−0,003x²+2,93x+483, temos
C'(x)=ddxl(-0,003x^2+2,93x+483r)=-0,006x+2,93
Teoria: o custo marginal em x é a taxa de variação instantânea do custo total quando se produz mais uma unidade.

Passo 5

Por fim, substituímos x=300 em C’(x):
C'(300)=-0,006cdot300+2,93=-1,8+2,93=1,13
Isso significa que produzir o 301º bolo, a partir de 300, aumenta o custo em aproximadamente R$ 1,13.

Resposta

O custo marginal a partir de 300 unidades é R$ 1,13 por bolo.

Exercícios relacionados