O fillamento de uma lâmpada de um farol de automóvel está a uma distância de 10,0 cm cm frente a um espelho esférico côncavo que forma uma imagem em uma parede a uma distância de 3.0 m do espelho. (a) Qual é o raio de curvatura e a distância focal do espelho?
(b) Qual é a altura da imagem sabendo que a altura do objeto é de 5,0 mm ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espelhos esféricos côncavos. O enunciado nos diz que a filamento de uma lâmpada está a 10,0 cm na frente de um espelho côncavo e que a imagem se forma a 3,0 m da parede. Precisamos encontrar o raio de curvatura e a distância focal desse espelho, além da altura da imagem sabendo que a altura do objeto é de 5,0 mm. Para resolver isso, vamos usar as equações dos espelhos esféricos e entender como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos para a parte (a):
  • Distância do objeto ao espelho ( p): 10,0 cm
  • Distância da imagem ao espelho ( i): 3,0 m = 300 cm
Vamos usar a equação dos espelhos:
1p + 1i = 1f
Onde f é a distância focal do espelho.

Passo 3

Substituindo os valores na equação:
110,0 + 1-300 = 1f
Note que a distância da imagem é negativa porque, para espelhos côncavos, imagens reais são formadas do mesmo lado do objeto, mas seguindo a convenção de sinais, a imagem real tem distância positiva. No entanto, aqui parece haver uma confusão nas unidades, já que temos 10 cm e 3 m. Vamos ajustar para o mesmo sistema:
  • p = 10,0 cm
  • i = -300 cm (imagem real para espelhos côncavos)
Agora, aplicando:
110 + 1-300 = 1f

Passo 4

Calculando os valores:
110 - 1300 = 1f
0,1 - 0,0033 = 1f
0,0967 = 1f
Então,
f = 10,0967 approx 10,34 cm

Passo 5

Agora, o raio de curvatura ( R) está relacionado com a distância focal pela fórmula:
R = 2f
Substituindo o valor encontrado:
R = 2 times 10,34 approx 20,68 cm

Passo 6

Para a parte (b), precisamos encontrar a altura da imagem ( h') sabendo que a altura do objeto ( h) é de 5,0 mm. Vamos usar a fórmula de ampliação:
A = h'h = -ip

Passo 7

Substituindo os valores:
A = --30010 = 30
Isso significa que a imagem é 30 vezes maior que o objeto.

Passo 8

Calculando a altura da imagem:
h' = A times h = 30 times 5,0 mm = 150 mm = 15,0 cm

Resposta

(a) O raio de curvatura do espelho é aproximadamente 20,68 cm e a distância focal é 10,34 cm.
(b) A altura da imagem é 15,0 cm.

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