A film of oil that has an index of refraction equal to 1.45 floats on water. When illuminated by white light at normal incidence, light of wavelengths 700 nm and 500 nm is predominant in the reflected light. Determine the thickness of the oil film.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Índice de refração do filme de óleo: n=1,45.
  • O filme flutua sobre água (indice da água não foi dado explicitamente no enunciado; vamos usar o fato físico importante que o índice do óleo é maior que o da água: n_{\text{oil}}=1,45>n_{\text{water}} — se fosse necessário o valor numérico de n_{\text{water}} ele seria aproximadamente 1,33, mas não precisaremos do seu valor exato, apenas a ordem).
  • Iluminação por luz branca com incidência normal (ou seja, luz incidindo perpendicularmente ao filme).
  • Nas cores refletidas predominantes aparecem comprimentos de onda \lambda_1=700\\ \text{nm} e \lambda_2=500\\ \text{nm}.
O que o problema pede:
  • Determinar a espessura t do filme de óleo que faz com que os comprimentos de onda \lambda_1 e \lambda_2 sejam máximos no feixe refletido.

Passo 2

Entender o fenômeno físico (explicação didática, passo a passo).
Quando a luz atinge um filme fino com índices diferentes há duas reflexões principais que interferem: uma na face superior (ar → óleo) e outra na face inferior (óleo → água). Essas duas ondas refletidas podem se reforçar (interferência construtiva) ou se anular (interferência destrutiva) dependendo de:
  1. Diferença de caminho óptico entre as ondas (a que viaja dentro do filme percorre ida e volta).
  2. Deslocamentos de fase que ocorrem nas reflexões (quando a onda reflete de um meio de índice menor para um de índice maior ocorre uma inversão de fase de \pi; quando reflete de maior para menor não há inversão).
Aqui, explicitando os sinais:
  • No topo: ar ( n\approx1) → óleo ( n=1,45). Como 1<1,45, a reflexão na face superior sofre inversão de fase de \pi.
  • Na base: óleo ( 1,45) → água ( \sim1,33). Como 1,45>1,33, a reflexão na face inferior NÃO sofre inversão de fase.
    Logo há somente UMA inversão de fase total entre as duas ondas refletidas.

Passo 3

Escrever a condição de interferência para reflexão com uma inversão de fase.
  • Diferença de fase causada pelo caminho óptico de ida e volta dentro do filme é proporcional a 2 n t (opd — optical path difference). Em termos de comprimento de onda no vácuo, a diferença de caminho óptico corresponde a 2 n t.
  • Uma inversão extra de fase de \pi corresponde a meia onda (ou seja, soma de \lambda/2 ao deslocamento de fase).
Para haver interferência construtiva no feixe refletido quando existe exatamente uma inversão de fase entre as duas reflexões, a condição é:
2 n t = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,
onde m é um número inteiro m=0,1,2,\dots.
Explicando as variáveis:
  • n é o índice do filme (aqui 1,45),
  • t é a espessura do filme (o que queremos),
  • \lambda é o comprimento de onda no ar/vácuo da luz que tem o máximo refletido,
  • m conta o número de meias-ondas inteiras que cabem na diferença de caminho (ajusta quantas “ordens” de interferência existem).
Como tanto \lambda_1 quanto \lambda_2 são observados como máximos no reflexo, para cada um deve existir um inteiro m (possivelmente diferente) que satisfaça a condição.

Passo 4

Escrever as duas equações para os dois comprimentos de onda observados.
Para \lambda_1=700\\ \text{nm} existe um inteiro m_1 tal que
2 n t = \left(m_1+\tfrac{1}{2}\right)\lambda_1.
Para \lambda_2=500\\ \text{nm} existe um inteiro m_2 tal que
2 n t = \left(m_2+\tfrac{1}{2}\right)\lambda_2.
Igualando as duas expressões para 2 n t obtemos
\left(m_1+\tfrac{1}{2}\right)\lambda_1 = \left(m_2+\tfrac{1}{2}\right)\lambda_2.

Passo 5

Resolver a equação inteira resultante para encontrar inteiros m_1,m_2 compatíveis.
Substituindo os valores \lambda_1=700\\ \text{nm} e \lambda_2=500\\ \text{nm} temos
700\left(m_1+\tfrac{1}{2}\right)=500\left(m_2+\tfrac{1}{2}\right).
Dividindo por 100 simplifica para
7\left(m_1+\tfrac{1}{2}\right)=5\left(m_2+\tfrac{1}{2}\right).
Multiplicando por 2 para eliminar as metades:
14 m_1 +7 = 10 m_2 +5.
Rearranjando:
7 m_1 -5 m_2 = -1.
Temos uma equação diofantina linear. Procuramos os menores inteiros não negativos que satisfaçam isso (pois m é ordem de interferência).
Resolvendo por tentativa modular: queremos 5 m_2 -1 múltiplo de 7; isto implica 5 m_2 \equiv 1\pmod{7}. O inverso de 5 módulo 7 é 3 (pois 5\cdot3=15\equiv1\pmod7), logo m_2\equiv3\pmod7. O menor m_2\ge0 com essa condição é m_2=3. Substituindo:
m_1 = \frac{5 m_2 -1}{7} = \frac{5\cdot3 -1}{7} = \frac{14}{7}=2.
Portanto uma solução inteira minimal é m_1=2 e m_2=3. (Podem existir soluções maiores obtidas somando múltiplos, mas elas dão espessuras maiores; na prática escolhemos a menor espessura física plausível.)

Passo 6

Calcular a espessura t usando qualquer uma das duas equações (valores de m encontrados).
Usando a equação com \lambda_1=700\\ \text{nm} e m_1=2:
2 n t = \left(2+\tfrac{1}{2}\right)700\\ \text{nm} = 2{,}5\times700\\ \text{nm}=1750\\ \text{nm}.
Logo
t = \frac{1750\\ \text{nm}}{2 n} = \frac{1750\\ \text{nm}}{2\times1{,}45} = \frac{1750}{2{,}9}\\ \text{nm}.
Calculemos:
t \approx 603{,}448\\ \text{nm}.
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
t \approx 603\\ \text{nm}.

Passo 7

Verificação rápida de consistência.
Usando a outra equação ( \lambda_2=500\\ \text{nm}, m_2=3):
2 n t = \left(3+\tfrac{1}{2}\right)500\\ \text{nm}=3{,}5\times500\\ \text{nm}=1750\\ \text{nm},
que dá o mesmo t. Isso confirma que os inteiros escolhidos estão corretos e que a espessura encontrada é consistente com os dois máximos observados.

Resposta

t \approx 603\\ \text{nm}

Exercícios relacionados