Two narrow slits separated by 1.00 mm are illuminated by light that has a 600-\mathrm{nm} wavelength, and the interference pattern is viewed on a screen 2.00 m away. Calculate the number of bright fringes per centimeter on the screen in the region near the center fringe.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (listei os dados exatamente como vieram):
  • Separação entre as fendas: d = 1{,}00\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento de onda da luz: \lambda = 600\\ \mathrm{nm}.
  • Distância até a tela: L = 2{,}00\\ \mathrm{m}.
    O que é pedido: calcular o número de franjas brilhantes por centímetro na tela, na região próxima à franja central.

Passo 2

Condição de interferência construtiva (franjas brilhantes).
Para duas fendas bem estreitas e iluminadas por luz monocromática, as franjas brilhantes ocorrem quando a diferença de caminho entre os dois feixes é um múltiplo inteiro da comprimento de onda. A condição é
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a separação entre as fendas,
  • \theta é o ângulo relativamente ao centro da tela para a franja de ordem m,
  • m é um número inteiro ( m=0,\pm1,\pm2,\dots),
  • \lambda é o comprimento de onda.
    Expliquei: cada m representa uma franja brilhante (o m=0 é a franja central).

Passo 3

Relação entre posição na tela y e ângulo \theta.
A posição vertical y de uma franja (medida a partir do centro) está ligada ao ângulo por
y = L\tan\theta.
Perto do centro as franjas são formadas por pequenos ângulos, então podemos usar a aproximação de pequeno ângulo
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta\quad(\text{em radianos}),
logo podemos combinar as duas relações e obter y \approx L\sin\theta. Aqui justifico: quando \theta é pequeno (p.ex. poucos graus), \sin\theta e \tan\theta diferem muito pouco, e essa aproximação simplifica a conta e é a usada em prova.

Passo 4

Expressão do espaçamento entre franjas adjacentes.
Tomando duas franjas consecutivas, de ordens m e m+1,
d\sin\theta_m = m\lambda,\qquad d\sin\theta_{m+1} = (m+1)\lambda.
Subtraindo e usando \sin\theta\approx y/L dá o espaçamento entre posições adjacentes (distância entre franjas brilhantes)
\Delta y = y_{m+1}-y_m \approx \frac{\lambda L}{d}.
Expliquei: \Delta y é constante (próximo ao centro), portanto as franjas têm espaçamento uniforme e basta calcular \Delta y para saber quantas cabem numa distância dada.

Passo 5

Converter unidades e calcular \Delta y.
Colocar todos os dados em unidades SI:
d = 1{,}00\\ \mathrm{mm} = 1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
\lambda = 600\\ \mathrm{nm} = 600\times10^{-9}\\ \mathrm{m},
L = 2{,}00\\ \mathrm{m}.
Agora calcular
\Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{600\times10^{-9}\cdot 2{,}00}{1{,}00\times10^{-3}} = 1{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Interpretação: \Delta y = 1{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1{,}20\\ \mathrm{mm}. Ou seja, a distância entre duas franjas brilhantes vizinhas é 1{,}20\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Calcular o número de franjas brilhantes por centímetro.
Número de franjas brilhantes em uma distância D é N = D/\Delta y. Para D=1\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m},
N = \frac{0{,}01}{1{,}20\times10^{-3}} = 8{,}33\ldots
Significado: cabem aproximadamente 8{,}33 franjas brilhantes em cada centímetro da tela, perto do centro. Em prática experimental dizemos cerca de 8 franjas inteiras por centímetro e mais uma fração.

Passo 7

Dica rápida para a prova (resumindo o método):
  • Lembre que a fórmula básica é d\sin\theta = m\lambda.
  • Para posições na tela use y\approx L\sin\theta.
  • O espaçamento entre franjas é \Delta y=\lambda L/d.
  • Depois é só dividir a distância desejada por \Delta y para obter o número de franjas. Você consegue aplicar isso rapidamente em prova.

Resposta

8{,}33\\ \text{franjas brilhantes por centímetro (aprox.)}í

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