A thin film having an index of refraction of 1.50 is surrounded by air. It is illuminated normally by white light. Analysis of the reflected light shows that the wavelengths 360,450 , and 602 nm are the only missing wavelengths in or near the visible portion of the spectrum. That is, for those wavelengths, there is destructive interference. (a) What is the thickness of the film? (b) What visible wavelengths are brightest in the reflected interference pattern? (c) If this film were resting on glass that has an index of refraction of 1.60 , what wavelengths in the visible spectrum would be missing from the reflected light?
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados fornecidos:
- O filme fino tem índice de refração
. - O filme está cercado por ar (índice do ar
). - Quando iluminado normalmente por luz branca, as únicas comprimentos de onda faltando (ou seja, que sofrem interferência destrutiva no reflexo) em/por perto da faixa visível são
. - Iluminação e observação em incidência normal.
Perguntas:
(a) Qual é a espessura do filme?
(b) Quais comprimentos de onda visíveis são mais brilhantes (máximos) no reflexo?
(c) Se o filme repousar sobre vidro com índice , quais comprimentos de onda na faixa visível seriam agora ausentes no reflexo?
(a) Qual é a espessura do filme?
(b) Quais comprimentos de onda visíveis são mais brilhantes (máximos) no reflexo?
(c) Se o filme repousar sobre vidro com índice
Passo 2
Entendendo a física e as fórmulas necessárias (aula rápida, passo a passo).
Quando uma onda plana incide normalmente sobre um filme fino, duas ondas refletidas dominantes aparecem: uma refletida na face superior (ar→filme) e outra refletida na face inferior (filme→meio abaixo). Essas duas ondas têm diferença de fase proveniente de:
- Diferença de caminho óptico: a luz percorre ida e volta no filme, totalizando deslocamento óptico
, que corresponde a uma diferença de fase . Aqui: -
é a espessura física do filme, -
é o índice do filme, -
é o comprimento de onda no vácuo (ou ar) do produto final observado.
-
- Possíveis reversões de fase (shift de
) na reflexão: quando a luz reflete numa interface indo de índice menor para maior há uma inversão de fase de ; ao refletir indo de maior para menor não há inversão.
A fase total entre as duas ondas refletidas é
onde
é
,
ou
etc dependendo das reflexões.
Critérios (normalmente usados em problemas de filme fino):
- Interferência destrutiva no reflexo:
com inteiro. - Interferência construtiva no reflexo:
.
Agora aplicamos isso ao caso concreto do filme cercado por ar:
- Reflexão na face superior (ar
filme): como , ocorre inversão de fase . - Reflexão na face inferior (filme
ar): como , NÃO ocorre inversão de fase.
Logo.
Substituindo
em
:
- Para destruição (mínimo no reflexo):
.
Assim - Para construção (máximo no reflexo):
.
Assim
Resumo (filme no ar, incidência normal):
- Mínimos (destruição) no reflexo:
, . - Máximos (construção) no reflexo:
.
Vou usar essas fórmulas para achar
e depois os comprimentos de onda máximos e o caso com substrato de vidro.
Passo 3
Determinar a espessura
a partir das mínimas observadas
.
Como para mínimos vale
, existe um valor comum
tal que
para inteiros
. Procuramos a menor espessura física plausível (menor
compatível com ordens inteiras) que explique as três comprimentos de onda faltantes.
Observação prática: os três comprimentos de onda dados estão “no ou perto” da região visível e têm proporções aproximadas que sugerem que correspondem a ordens consecutivas. Vamos verificar:
-
. Isso sugere que, minimamente, podemos ter e (pois ). - Agora veja a relação com
. Se as ordens forem consecutivas então seria razoável . Isso dá um aproximado:
Esse
gera valores muito próximos dos dados: para
dá
(próximo de
) e para
dá
(próximo de
). Essa pequena diferença é aceitável como arredondamento experimental ou de enunciado; a interpretação natural é que os três comprimentos de onda correspondem a ordens
.
Portanto tomamos
. Agora isolamos
:
Conclusão deste passo: a menor espessura que explica os três mínimos (tomando ordens consecutivas) é
(ou
).
Breve justificativa sobre escolha: matematicamente existe um múltiplo comum aritmético exato (o LCM) que faria ordens inteiras exatas, mas isso levaria a ordens muito grandes e a uma espessura enorme. Fisicamente e por simplicidade experimental, escolhe-se a solução de menor espessura compatível com números inteiros pequenos — aqui ordens
— o que também dá valores muito próximos dos comprimentos de onda dados.
Passo 4
Resposta detalhada da parte (a) com unidade e interpretação numérica.
Usando
(obtido em Passo 3). Em metros:
Passo 5
Quais comprimentos de onda visíveis são mais brilhantes no reflexo? (parte b)
Recordando: para máximos no reflexo (no caso original filme suspenso no ar, com uma só inversão de fase) a condição é
Já temos
. Logo os comprimentos de onda dos máximos são
com
. Vamos achar os que caem na faixa visível aproximada (aprox.
–
):
-
(próximo ao infravermelho, ligeiramente acima de — pouco visível). -
(verde; claramente visível). -
(violeta, na borda visível).
Para
os valores já caem no ultravioleta (
). Para
os valores ficam no infravermelho maior que 700 nm.
Portanto os máximos visíveis mais intensos no reflexo são aproximadamente
(verde) e
(violeta). O máximo em
é pouco além do limite visível e pode não ser observado como cor visível.
Passo 6
Agora o caso (c): o filme repousa sobre vidro com índice
.
Primeiro, reavalie as inversões de fase:
- Reflexão superior (ar
filme): ⇒ inversão de fase . - Reflexão inferior (filme
vidro): ⇒ também há inversão de fase .
Como ambas as reflexões introduzem uma inversão de fase, o efeito total de fases por reflexão é, que é equivalente a zero (múltiplo inteiro de ). Portanto agora .
Com
, a condição de mínima (destruição) no reflexo passa a ser:
Assim
Isto é diferente do caso anterior (onde tínhamos
) — o efeito foi deslocar os comprimentos de onda de mínimos para valores intermediários.
Como já encontramos
(a espessura física do filme não mudou), os comprimentos de onda que agora são mínimos satisfazem
Procuramos aqueles na faixa visível
–
:
-
(próximo a 720 nm, ligeiramente fora da faixa visível superior). -
(verde, visível). -
(violeta, na borda visível). -
(UV).
Portanto, com o filme sobre vidro (
), os comprimentos de onda ausentes (mínimos no reflexo) na região visível são aproximadamente
e
— ou seja, os máximos do caso anterior tornam-se mínimos aqui (troca de papéis por causa da inversão adicional de fase).
Resposta
(a)
(b) máximos (mais brilhantes) no reflexo: e
(c) com o filme sobre vidro ( ): mínimos (ausentes) visíveis aproximados em
e
(b) máximos (mais brilhantes) no reflexo:
(c) com o filme sobre vidro (