Um filme fino de gasolina flutua na superficie de uma poça d’água. A luz solar incide quase perpendicularmente ao filme e é refletida na direção dos olhos de um observador. Embora a luz solar seja branca, pois contém todas as cores, o filme tem uma coloração amarelada por que a interferência destrutiva elimina a cor azul ( \lambda_{\text {vácuo }}=469 \mathrm{~nm}á ) da luz refletida. Os índices de refração da luz azul na gasolina e na água são 1,40 e 1,33 , respectivamente. Determine a espessura minima t do filme Naber 1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado descreve um filme fino de gasolina (índice de refração \,n_1=1,40,) flutuando sobre água n_2=1,33, iluminado quase perpendicularmente com luz branca. Observa-se que a cor azul de comprimento de onda no vácuo \lambda_0=469\\ \mathrm{nm} é eliminada por interferência destrutiva na luz refletida. O conteúdo aqui é interferência em filme fino: precisamos considerar as mudanças de fase ao refletir em cada superfície e o caminho extra dentro do filme para achar a espessura mínima t.

Passo 2

Analisamos as mudanças de fase nas reflexões:
  1. Na face superior ar n_0\approx1 → gasolina n_1=1,40, há reflexão contra meio de maior índice ⇒ salto de fase de \pi.
  2. Na face inferior gasolina n_1=1,40 → água n_2=1,33, reflete contra meio de menor índice ⇒ sem salto de fase.

Passo 3

A diferença de fase entre o raio refletido no topo (com salto \pi) e o raio refletido embaixo (sem salto) é
\Delta\varphi \;=\;\pi \;+\;\frac{2\pi}{\lambda_1}\,(2\,n_1\,t)
onde \lambda_1=\lambda_0/n_1 é o comprimento de onda na gasolina. Para interferência destrutiva na reflexão, queremos
\Delta\varphi = (2m+1)\,\pi,
para algum inteiro m. Substituindo e simplificando:
\pi + \frac{4\pi\,n_1\,t}{\lambda_0} = (2m+1)\pi \;\Longrightarrow\; \frac{4\pi\,n_1\,t}{\lambda_0} = 2m\pi \;\Longrightarrow\; 2\,n_1\,t = m\,\lambda_0.

Passo 4

A espessura mínima não nula ocorre para m=1:
t = \frac{\lambda_0}{2\,n_1} = \frac{469\\ \mathrm{nm}}{2\times1,40} \approx 167{,}5\\ \mathrm{nm} =1{,}68\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Resposta

A espessura mínima do filme é
t \approx 1{,}7\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

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