A luz passa por uma fenda e ilumina uma tela plana situada a uma distância \mathrm{L}=0,40 \mathrm{~m}. A largura da fenda é a=4,0 \times 10^{-6} \mathrm{~m}. Determine a largura 2 y da franja central se o comprimento de onda da luz no vácuo for
\lambda=690 nm (vermelho)

Passo 1

O enunciado diz que um feixe de luz monocromática de comprimento de onda \lambda=690 nm atravessa uma fenda de largura a=4{,}0\times10^{-6} m e forma um padrão de difração numa tela a uma distância L=0{,}40 m. Queremos a largura total 2y da franja central. O conteúdo usado será a difração por fenda simples e a aproximação de ângulo pequeno.

Passo 2

Na difração por fenda única, os mínimos de intensidade ocorrem quando
a\sin\theta = m\,\lambda,
sendo m=\pm1,\pm2,\dots. Para a primeira mínima (lados da franja central) tomamos m=1, então
a\sin\theta_1 = \lambda.

Passo 3

Como a distância L até a tela é muito maior que a metade da largura da franja ( \theta_1 é pequeno), podemos aproximar
\sin\theta_1 \approx \tan\theta_1 \approx \theta_1.
Geométricamente, se y é a semi-largura da franja no eixo vertical,
\tan\theta_1 = \frac{y}{L}\approx \theta_1.

Passo 4

Combinando \theta_1\approx \frac{\lambda}{a} e \theta_1\approx\frac{y}{L}, obtemos
y = L\,\frac{\lambda}{a}.
Logo, a largura total da franja central é
2y = 2\,\frac{L\,\lambda}{a}.

Passo 5

Basta substituir os valores:
2y =2\,\frac{0{,}40\,\mathrm{m}\times690\times10^{-9}\,\mathrm{m}}{4{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{m}} =2\,\frac{276\times10^{-9}}{4{,}0\times10^{-6}} =2\times69\times10^{-3} =0{,}138\\ \mathrm{m}.
Em centímetros, isso dá 13{,}8 cm.

Resposta

A largura da franja central é 2y=0{,}138 m (ou 13{,}8 cm).

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