Um filtro passa-baixas não ideal possui resposta ao impulso h(t)=e^{-3|t|}.
(a) Determine o ganho desse filtro para a frequência \omega=4 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
(b) Determine a frequência de corte \omega_{c} desse filtro considerando o critério de -3 dB .

Passo 1

O enunciado dá o impulso do filtro
h(t)=e^{-3|t|}
e pede (a) o ganho em \omega=4 rad/s e (b) a frequência de corte \omega_c no critério de –3 dB. Aqui vamos usar a transformada de Fourier para obter a resposta em frequência H(j\omega) e em seguida avaliar esses pontos.

Passo 2

A resposta em frequência é
H(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-3|t|}e^{-j\omega t}\,\mathrm{d}t
separamos em t\ge0 e t<0:
H(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-3t}e^{-j\omega t}\,\mathrm{d}t+\int_{0}^{\infty}e^{-3t}e^{+j\omega t}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{3+j\omega}+\frac{1}{3-j\omega} =\frac{6}{9+\omega^2}\,.

Passo 3

Para encontrar o ganho em \omega=4, basta avaliar
H(4)=\frac{6}{9+4^2}=\frac{6}{25}=0,24\,.

Passo 4

No critério de –3 dB, a magnitude deve cair a 1/\sqrt{2} do valor máximo. Como
H(0)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3},
definimos \omega_c pela condição
H(\omega_c)=\frac{H(0)}{\sqrt{2}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}\,.
Igualando a expressão de H(j\omega):
\frac{6}{9+\omega_c^2}=\frac{2}{3\sqrt{2}}\,.

Passo 5

Resolvendo
6\cdot3\sqrt{2}=2\,(9+\omega_c^2) \;\Longrightarrow\; 18\sqrt{2}=18+2\,\omega_c^2 \;\Longrightarrow\; \omega_c^2=9(\sqrt{2}-1) \;\Longrightarrow\; \omega_c=3\sqrt{\sqrt{2}-1}\approx1,93\,.

Resposta

(a) H(4)=0,24.
(b) \omega_c=3\sqrt{\sqrt{2}-1}\approx1,93,rad/s.

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