Considere o sinal g(t)=\frac{2 a}{(2 \pi t)^{2}+a^{2}}, a>0. Determinar o valor de B tal que a faixa de frequências [-B, B] contenha 99 \% da energia total de x(t).

Passo 1

O enunciado dá o sinal
g(t)=\frac{2a}{(2\pi t)^{2}+a^{2}},\quad a>0
e pede o valor de B tal que a faixa de frequências [-B,B] contenha 99\% da energia total de g(t). Para isso vamos usar o par de Fourier de g(t) e o Teorema de Parseval no domínio de frequência.

Passo 2

Usamos o par conhecido
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|f|}\,e^{j2\pi f t}\,\mathrm{d}f =\frac{2a}{(2\pi t)^{2}+a^{2}}
Logo a transformada de Fourier de g(t) é
G(f)=e^{-a|f|}.

Passo 3

Pelo Teorema de Parseval no domínio de frequência, a energia total é
E_{\rm total}=\int_{-\infty}^{\infty}\lvert g(t)\rvert^{2}\,\mathrm{d}t =\int_{-\infty}^{\infty}\lvert G(f)\rvert^{2}\,\mathrm{d}f =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2a|f|}\,\mathrm{d}f.
Como a função é par,
E_{\rm total} =2\int_{0}^{\infty}e^{-2a f}\,\mathrm{d}f =2\cdot\frac{1}{2a} =\frac{1}{a}.

Passo 4

A energia contida em [-B,B] é
E_{[-B,B]} =\int_{-B}^{B}e^{-2a|f|}\,\mathrm{d}f =2\int_{0}^{B}e^{-2a f}\,\mathrm{d}f =2\cdot\frac{1-e^{-2aB}}{2a} =\frac{1-e^{-2aB}}{a}.

Passo 5

Exigimos
\frac{E_{[-B,B]}}{E_{\rm total}} =\frac{\tfrac{1-e^{-2aB}}{a}}{\tfrac{1}{a}} =1-e^{-2aB} =0,99
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e^{-2aB}=0{,}01 \quad\Longrightarrow\quad -2aB=\ln(0{,}01) \quad\Longrightarrow\quad B=-\frac{1}{2a}\ln(0{,}01) =\frac{\ln(100)}{2a} =\frac{\ln(10)}{a}.

Resposta

B=\frac{\ln(10)}{a}.

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