4.2 A fim de resfriar uma embalagem com seis latas de refrigerante tão depressa quanto possível, ela é deixada num freezer durante uma hora. Se a temperatura ambiente é de 25^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura final da bebida gelada é de 5^{\circ} \mathrm{C}, determine a variação na sua entropia específica.

Passo 1

O enunciado pede a variação da entropia específica da bebida (variação por unidade de massa) quando ela é resfriada de 25^\circ\mathrm{C} para 5^\circ\mathrm{C} ao ser colocada no freezer por uma hora. Informações dadas:
  • Temperatura inicial: 25^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: 5^\circ\mathrm{C}.
  • Tempo no freezer: 1 hora (informação presente no enunciado).
  • Pedido: determinar a variação da entropia específica \Delta s da bebida.

Passo 2

Conceitos e hipóteses que vou usar (explicação didática):
  • Entropia é uma função de estado: a variação de entropia entre dois estados depende só dos estados inicial e final, não do caminho real tomado. Por isso podemos calcular \Delta s escolhendo um processo reversível hipotético entre as duas temperaturas.
  • Definição termodinâmica usada: para uma mudança de temperatura de um corpo sem mudança de fase, a variação de entropia específica satisfaz
\Delta s=\int_{1}^{2}\frac{\delta q_{\mathrm{rev}}}{T}.
Aqui \delta q_{\mathrm{rev}} é o calor reversível adicionado por unidade de massa e T é a temperatura absoluta (em kelvin) durante a transferência.
  • Se a substância (a bebida) pode ser tratada como água líquida e o calor específico c é aproximadamente constante no intervalo de temperatura considerado, então podemos escrever \delta q_{\mathrm{rev}}=c\,dT.
  • Hipóteses práticas (comuns em exercícios): a bebida é majoritariamente água e não há mudança de fase entre 25^\circ\mathrm{C} e 5^\circ\mathrm{C}; o calor específico aproximado da água é
c \approx 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Observação sobre o tempo: o tempo de 1 hora não entra no cálculo de \Delta s porque entropia é função de estado; o processo real pode ser irreversível, mas a variação de entropia do sistema depende só de T_1 e T_2.

Passo 3

Montando a integral com as hipóteses acima:
\Delta s=\int_{T_1}^{T_2}\frac{c\,dT}{T}=c\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}.
Esta integral é elementar e resulta em um logaritmo:
\Delta s=c\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Explicando as variáveis:
  • c é o calor específico por unidade de massa (unidade \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
  • T_1 é a temperatura absoluta inicial (em kelvin).
  • T_2 é a temperatura absoluta final (em kelvin).
  • \Delta s terá unidade \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 4

Converter temperaturas para kelvin e calcular numericamente passo a passo.
  • Conversão:
T_1 = 25^\circ\mathrm{C}=25+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 5^\circ\mathrm{C}=5+273{,}15=278{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Razão das temperaturas:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{278{,}15}{298{,}15}\approx 0{,}9330.
  • Logaritmo:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln(0{,}9330)\approx -0{,}0694.
  • Multiplicando por c:
\Delta s = 4186\cdot(-0{,}0694)\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\approx -290{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Arredondando razoavelmente, \Delta s\approx -2{,}90\times10^{2}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 5

Interpretação e comentários finais (didáticos e motivacionais):
  • O sinal negativo indica que a entropia específica da bebida diminuiu ao ser resfriada (faz sentido: calor saiu do sistema).
  • A magnitude depende linearmente de c; se o calor específico real da bebida for um pouco diferente do da água, basta substituir o c real na fórmula \Delta s=c\ln(T_2/T_1) para ajustar o resultado.
  • O tempo de 1 hora não altera o valor numérico de \Delta s, pois a entropia é função de estado.
  • Bom trabalho: já temos a expressão geral e o valor numérico — na prova, escreva a hipótese sobre tratar a bebida como água e mostre a integral e o cálculo numérico como fiz aqui. Força, você consegue!

Resposta

\Delta s \approx -290{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}

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