Exemplo 1.6

Um metro cúbico de hélio a pressão absoluta de 101,3 \mathrm{kPa} é comprimido isoentropicamente até que seu volume se tome igual a metade do volume inicial. Qual é o valor da pressão no estado final?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (lista clara do que foi fornecido e o que é pedido):
  • Volume inicial: V_1 = 1\\ \mathrm{m^3}.
  • Pressão inicial: P_1 = 101{,}3\\ \mathrm{kPa}.
  • Processo: compressão isoentrópica (isto é, adiabática reversível) até o volume final ser metade do inicial, portanto V_2 = \tfrac{1}{2}V_1.
  • Pergunta: determinar a pressão no estado final P_2.

Passo 2

Entender a relação física que vamos usar (aula rápida e direta).
  • Para um gás ideal submetido a um processo isoentrópico (adiabático reversível) vale a lei
P V^{\gamma}=\text{constante},
ou seja, entre os estados 1 e 2:
P_1 V_1^{\gamma}=P_2 V_2^{\gamma}.
  • Aqui \gamma é a razão de capacidades térmicas \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}. Para um gás monoatômico (como o hélio), os graus de liberdade são f=3 e portanto
C_V=\frac{f}{2}R=\frac{3}{2}R,\qquad C_P=C_V+R=\frac{5}{2}R,
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\gamma=\frac{C_P}{C_V}=\frac{5/2}{3/2}=\frac{5}{3}\approx1{,}666\ldots
  • Observação importante (motivação): assumir hélio como gás ideal e monoatômico é padrão nessas questões; é por isso que usamos \gamma=5/3.

Passo 3

Isolar P_2 na relação isoentrópica e simplificar usando V_2=\tfrac{1}{2}V_1.
  • Da igualdade P_1 V_1^{\gamma}=P_2 V_2^{\gamma} segue
P_2 = P_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}.
  • Como V_2=\tfrac{1}{2}V_1, temos \dfrac{V_1}{V_2}=2. Portanto
P_2 = P_1\,2^{\gamma}.

Passo 4

Substituir \gamma=\tfrac{5}{3} e calcular o fator 2^{\tfrac{5}{3}}.
  • Escrevendo
2^{5/3}=2^{1+2/3}=2\cdot 2^{2/3}=2\cdot\bigl(2^{1/3}\bigr)^2.
  • Uma aproximação prática do valor: 2^{1/3}\approx1{,}2599, então
\bigl(2^{1/3}\bigr)^2\approx1{,}2599^2\approx1{,}5874,
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2^{5/3}\approx2\cdot1{,}5874\approx3{,}1748.

Passo 5

Calcular P_2 multiplicando o fator acima pela pressão inicial.
  • Usando P_1=101{,}3\\ \mathrm{kPa} e 2^{5/3}\approx3{,}1748,
P_2 \approx 101{,}3\times3{,}1748\\ \mathrm{kPa}.
  • Fazer a conta passo a passo:
    • 101{,}3\times3 = 303{,}9.
    • 101{,}3\times0{,}1748 \approx 17{,}7 (pois 0{,}1748\times100\approx17{,}48 e mais um pouco por causa do 1{,}3).
    • Somando: 303{,}9+17{,}7\approx321{,}6.
  • Assim
P_2 \approx 321{,}6\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Interpretação final curta e ânimo:
  • O resultado significa que comprimindo isoentrópicamente o hélio para metade do volume, a pressão aumenta por um fator cerca de 3{,}175, indo de 101{,}3\\ \mathrm{kPa} para aproximadamente 321{,}6\\ \mathrm{kPa}.
  • Pode arredondar para 322\\ \mathrm{kPa} se quiser um valor com três algarismos significativos. Força aí — conseguiu!

Resposta

P_2 \approx 321{,}6\\ \mathrm{kPa}

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