Em uma final de uma prova de natação participam cinco atletas europeus, dois norte-americanos e um brasileiro.
(a) De quantos modos distintos poderão ser distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?
(b) Em quantos resultados só aparecem atletas europeus nas três primeiras posições?
(c) Em quantos resultados o atleta brasileiro recebe medalha?
(d) Supondo que o atleta brasileiro não recebeu medalha, determine o número de resultados em que há mais atletas europeus do que norte-americanos no pódio.

Passo 1

O enunciado fala de distribuir ouro, prata e bronze entre 8 atletas distintos (5 europeus, 2 norte-americanos e 1 brasileiro). O conteúdo é contagem de arranjos (permutação simples) e casos condicionais. Para resolver, vamos usar
– para o total sem restrição, permutações de 8 elementos tomados 3 a 3;
– para restrições de nacionalidade, contagem por casos (escolha e ordenação).

Passo 2

Para (a), queremos o número de modos distintos de atribuir ouro, prata e bronze entre os 8 atletas. Isso é uma permutação simples de 8 elementos tomados 3 a 3:
8P3 = 8 \times 7 \times 6 = 336.

Passo 3

Para (b), só aparecem europeus nas três primeiras posições. Temos 5 europeus distintos e queremos ordená-los em 3 lugares, ou seja 5P3:
5P3 = 5 \times 4 \times 3 = 60.

Passo 4

Para (c), o brasileiro recebe medalha. Primeiro escolhemos em qual das 3 medalhas ele fica (3 possibilidades) e, em seguida, distribuímos as outras duas entre os 7 atletas restantes em ordem, ou seja 7P2. Logo,
\text{casos} = 3 \times 7P2 = 3 \times (7 \times 6) = 3 \times 42 = 126.

Passo 5

Para (d), supondo que o brasileiro não recebeu medalha, então as medalhas vão para os 7 atletas (5 europeus e 2 norte-americanos). O total sem outra restrição seria
7P3 = 7 \times 6 \times 5 = 210.
Mas queremos apenas os resultados em que o número de europeus no pódio seja maior que o de norte-americanos. Há dois casos:
  1. Três europeus e zero norte-americanos: isso é 5P3 = 5\times4\times3 = 60.
  2. Dois europeus e um norte-americano: escolhemos quais 2 dos 5 europeus e qual 1 dos 2 norte-americanos, depois permutamos os 3 escolhidos em 3! ordens, ou seja
\binom{5}{2}\times\binom{2}{1}\times 3! = 10 \times 2 \times 6 = 120.
Somando os dois casos, temos
60 + 120 = 180.

Resposta

(a) 336
(b) 60
(c) 126
(d) 180

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