Em uma final de uma prova de natação participam cinco atletas europeus, dois norte-americanos e um brasileiro.
(a) De quantos modos distintos poderão ser distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?
(b) Em quantos resultados só aparecem atletas europeus nas três primeiras posições?
(c) Em quantos resultados o atleta brasileiro recebe medalha?
(d) Supondo que o atleta brasileiro não recebeu medalha, determine o número de resultados em que há mais atletas europeus do que norte-americanos no pódio.
(a) De quantos modos distintos poderão ser distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?
(b) Em quantos resultados só aparecem atletas europeus nas três primeiras posições?
(c) Em quantos resultados o atleta brasileiro recebe medalha?
(d) Supondo que o atleta brasileiro não recebeu medalha, determine o número de resultados em que há mais atletas europeus do que norte-americanos no pódio.
Passo 1
O enunciado fala de distribuir ouro, prata e bronze entre 8 atletas distintos (5 europeus, 2 norte-americanos e 1 brasileiro). O conteúdo é contagem de arranjos (permutação simples) e casos condicionais. Para resolver, vamos usar
– para o total sem restrição, permutações de 8 elementos tomados 3 a 3;
– para restrições de nacionalidade, contagem por casos (escolha e ordenação).
– para o total sem restrição, permutações de 8 elementos tomados 3 a 3;
– para restrições de nacionalidade, contagem por casos (escolha e ordenação).
Passo 2
Para (a), queremos o número de modos distintos de atribuir ouro, prata e bronze entre os 8 atletas. Isso é uma permutação simples de 8 elementos tomados 3 a 3:
Passo 3
Para (b), só aparecem europeus nas três primeiras posições. Temos 5 europeus distintos e queremos ordená-los em 3 lugares, ou seja
:
Passo 4
Para (c), o brasileiro recebe medalha. Primeiro escolhemos em qual das 3 medalhas ele fica (3 possibilidades) e, em seguida, distribuímos as outras duas entre os 7 atletas restantes em ordem, ou seja
. Logo,
Passo 5
Para (d), supondo que o brasileiro não recebeu medalha, então as medalhas vão para os 7 atletas (5 europeus e 2 norte-americanos). O total sem outra restrição seria
Mas queremos apenas os resultados em que o número de europeus no pódio seja maior que o de norte-americanos. Há dois casos:
- Três europeus e zero norte-americanos: isso é
. - Dois europeus e um norte-americano: escolhemos quais 2 dos 5 europeus e qual 1 dos 2 norte-americanos, depois permutamos os 3 escolhidos em
ordens, ou seja
Somando os dois casos, temos
Resposta
(a) 336
(b) 60
(c) 126
(d) 180
(b) 60
(c) 126
(d) 180